数学建模在实际中的应用水厂供水的优化问题学号 姓名 专业 选址是生活中经常遇到的问题，如向居民输送自来水等都是实际需要考虑的问题，在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将居民区简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。本模型正是研究了一个向六个居民区输水的A、B水厂的选址问题，本模型把其定义为双选址问题，首先对六个居民点，分成两个区域，然后分别求解。为了简单易求，也可以首先选择重心法，对其求解，但通过对其结果的分析，发现重心法存在着缺点。所以采取对模型进行重建的方法，列出了一个二元方程，然后对其最小值进行求解。一、问题描述（优化选址问题）某城市拟建A、B两个水厂。水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。A、B两个水厂共同担负供应六个居民区（由表一给出坐标）用水任务，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。表1：各居民区的位置和拥有的家庭户数居民点123456位置012345454412家庭户数（万户）1011815822表一问题：若A、B两个水厂的位置尚未确定，请确定它们的位置及供水方案使总成本最低。二、模型假设1.假设水厂与居民点的距离为直线距离，即忽略掉输水管道的路线问题。2.假设水厂与居民点之间的供水费用仅与供水长度有关，和输水量无关。3.假设水厂的建设资金是确定的，不会因规模的大小而改变。成本仅为供水成本。4.假设水厂和居民区都是理性化的质点。5.假设居民的用水量就为人均用水量乘上人口数。而且，长期不变。三、符号表示符号含义维护管道所花费的费用（，）（i=1，2，3，4，5，6）六个居民区的坐标（，） 两个水厂向六个居民区的输水量（，） （，）A、B水厂的坐标各居民区所需的水量各居民区距离水厂的位置四、问题分析通过简单的分析可以的知，总的用水量为74吨，而A、B两厂的总进水量为80吨，所以B两厂的规模只能为（30，50）、（40，40）、（50，30）三种方式。对于问题一，是典型的线性最优化问题，我们分三种方式对其求解。而对于问题二，我们则是采用将完全不同的模型：首先，利用聚类算法思想，把六个居民点化分成为两个区域，然后利用重心选址法初步判断和偏微分法求解地方法，分别对A、B两个水厂的位置进行确定。五、模型的建立与求解1、模型的建立（重心法）这是一个典型的选址问题，由于要选择两个水厂，根据聚类算法的思想，即同一类对象的相似度较高，而不同类的对象相似度较小的原理，需要将需求点划分成两个区域。(1)划分区域首先，在坐标纸上描绘出说有的需求区（这里指居民区），并把所有需求区，用直线连接起来，以距离为边做出一个完全图，如图所示：图一居民区110221.41403321.4104432.231055553.6053.160665.3853.6052.8282.2360表三然后，根据它们彼此的距离（如表三所示），先删除距离最大的边，然后再删除余下边中距离最大的，依次进行下去，直到图被分为两个彼此分离的图像，如下图所示：图二分为两个区域，根据用水量和供水量可知，A厂与B厂的供水量只能为50万吨，三十万吨。然后分别对A、B厂进行求解。(2)公式（重心法选址）的推导：假设有n个居民点，居民点的坐标为（，），水厂的位置为（,）,则供水成本为：其中，A为单位距离的供水成本，为两点间的距离，为供水量。按重心法，将各居民区视为有重量的质点，为各质点的等效重量，重心是到各质点距离最短距离的点，这样，寻求水厂的地址问题，就转化为求重心坐标的问题，所以接下来就是解决求解重心的问题。假设各个质点的等效质量为G，根据重心的特征，可知，等效重量在重心对远点的力矩等于各质点在面上的力矩之和，即：由于X轴与Y轴互相垂直，为不相关变量，所以可以把力矩延着X轴、Y轴分解，即重心对X轴、Y轴的力矩，等于各质点对X轴、Y轴的力矩之和。那么可以得到： 又因为G为等效质量，所以。总上可得： （1）（，）就为所要求解的重心，也就是水厂的最优位置。2、模型的求解（Excle表格）对比重心法，中心坐标的求解，比较简单，所以本论文选择Excle 表格对其求解，A、B两厂的求解数据与过程分别见表四和表五。对于第一块区域（数据如表四所示）居民区一居民区二居民区三居民区四（求和）x坐标0123y坐标4544分配量（质量）101181544X*质量011164572Y*质量40553260187表四数据带入公式（1），可以求出=1.6363， =4.25 。对于第二个区域（数据如表五所示）：居民区五居民区六（求和）x坐标45y坐标12分配量（质量）82230X*质量32110142Y*质量84452数据带入公式（1），可以求出=4.73，=1.733 。3、模型的分析（结果比较）经过分析可以得知，虽然重心法处理问题，比较简单处理的数据比较少，把二元变量转化为易求的一元变量。但是，结果是否就是最优解呢 ？为了验证这一方法的可行性，我们新建了一个二元方程模型，并对它进行作图、求解。我们依然根据聚类算法的思想，把区域化作两个区域（详细见上面重心法模型），然后，再分开进行求解，对于假设A水厂的坐标为（，），则对于A厂的成本为： 同理，对于B厂成本为： 对于这两个二元函数，我们就是要求解其最小指。本论文，用matlab 软件，做出了，的分别关于（，），（，）三维网状图，分别如图三、图四（见附表）所示：图三图四通过，对图标的分析，本论文发现重心法的结果与实际结果有误差。所以，本论文对重心法重新分析：在重心法中，使用了力矩的概念，在物理学中，力矩是一个矢量，所以，应用矢量方程表示重心和各质点的力矩关系，应该是一个矢量表达式：因为，Z 是费用，并非是一个向量表达式，所以：所以，“重心法”因为有矢量运算(不做详细说明)，并不是选址的最优选法。4、模型的重建（二元函数最小值）此设计模型，以最低费用为标准，建立一个关于坐标的二元函数： （2）当 Z 取到最小值时，谁对应的（X，Y）就是要选的水厂位置。所以，问题变成了求解复杂二元函数的最值，以及所对应的（X，Y）求解。5、模型的二次求解（matlab求解）此设计使用 matlab 对其求解。由于这是一个比较复杂的二元函数，直接求解要求解 Z 的高次偏微分，而且使用 matlab 的“fmin函数”求最值时，软件显示“无法求解”。所以，最后本论文采用“迭代法”进行求解，即遍举所有的（，），选出他们求出的 Z 最小值，同时，输出他们所对应的（，）。（程序如附表二所示）程序输出的 z1 为第一个点的最小费用，（a1，b1）为 A 厂的坐标；z2 为第二个点的最小费用，（a2，b2）为 B 厂的坐标。6、结果分析通过，软件的求解我们得出的最后结果是A厂（2，4），B厂（5，1）。花费的费用一共为58.5561。4