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第五、六章 练习题 一、选择题1. 矩阵A=的非零特征值为()A4 B3 C2 D12. 设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=0,3=2,则秩(A)=()A0 B1 C2 D33. 设A为n阶正交矩阵,则行列式|A2|=()A-2 B-1 C1 D24设3阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为2,2,3. 则|B-1|=()A B C7 D125设A 为3 阶矩阵,且已知|3A+2E|=0,则A 必有一个特征值为( )A B C D6.设A与B是两个相似n阶矩阵,则下列说法错误的是()A. B.秩(A)=秩(B) C.存在可逆阵P,使P-1AP=B D.E-A=E-B7.与矩阵A=相似的是()A. B. C. D.8设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是()AE-A B-E-A C2E-A D-2E-A9设=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于()A B C2D410.下列向量中与=(1,1,-1)正交的向量是()A. =(1,1,1)B. =(-1,1,1)C. =(1,-1,1)D. =(0,1,1)11已知矩阵A与对角矩阵D=相似,则A2=()AA BD CE D-E12设矩阵A=,则A的特征值为()A1,1,0 B-1,1,1 C1,1,1 D1,-1,-113设A为n(n2)阶矩阵,且A2=E,则必有()AA的行列式等于1 BA的逆矩阵等于ECA的秩等于n DA的特征值均为114.下列矩阵为正交矩阵的是( )A. B.C.D.15.设,为矩阵A=的三个特征值,则=( )A.20 B.24 C.28 D.3016.设P为正交矩阵,向量的内积为()=2,则()=( )A. B.1 C. D.217.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为( )A.1 B.2 C.3 D.418. 设矩阵A=,则A的线性无关的特征向量的个数是()A1 B2 C3 D419二次型f(x1,x2)=的规范形是()A B C D20.设A=,则二次型f(x1,x2)=xTAx是()A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定二、填空题1设向量=(1,2,3),=(3,2,1),则向量,的内积(,)=_.2二次型f (x1,x2,x3,x4)=的正惯性指数为_.3已知矩阵A=的一个特征值为0,则x=_.4设向量=(1,1,1),则它的单位化向量为_.5设A为n阶可逆矩阵,已知A有一个特征值为2,则(2A)-1必有一个特征值为_.6.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值_.7.矩阵A=的全部特征向量是_.8.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=_.9.已知向量=(2,1,0,3)T,=(1,-2,1,k)T,与的内积为2,则数k=_.10.设向量=(b,)T为单位向量,则数b=_.11.已知=0为矩阵A=的2重特征值,则A的另一特征值为_.12.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3. 则|A+E|=_.13. 设与的内积(,)=2,=2,则内积(2+,-)=_.14设向量_.15已知3阶矩阵A的3个特征值为1,2,3,则|A*|= _.16设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=3,3=0,则r(A)= _.设方阵A有一个特征值为0,则|A3|=_.19.设向量(-1,1,-3),(2,-1,)正交,则=_.20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型,则t满足_.21.矩阵A=所对应的二次型是_ _ _18.已知=0为矩阵A=的2重特征值,则A的另一特征值为_.19.二次型的矩阵为_.20.已知二次型f(x1,x2,x3)=(k+1)x+(k-1)x+(k-2)x正定,则数k的取值范围为_.三、计算题1设矩阵A=,求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.2利用施密特正交化方法,将下列向量组化为正交的单位向量组:1=, 2=. 3设矩阵A=,求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得P-1AP=D.4求矩阵A=的全部特征值及对应的全部特征向量.5.设矩阵A=,(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.(2)判定A是否可以与对角矩阵相似,若可以,求可逆矩阵P和对角矩阵,使得P-1AP=.6.设A=,求An.7设(1)确定的取值范围,使f为正定二次型;(2)当a=0时,求f的正惯性指数p和负惯性指数q.8.用配方法化二次型为标准型,并写出所做的可逆变换。
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