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中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数课程综合测试1学习层次:专升本 时间:90分钟一、填空题(每小题4分,共24分)1已知排列为奇排列,则。2若将阶行列式的每一个元素添上负号得到新行列式,则= 。3设阶方阵满足关系式, 且,则= 。 4设为5 阶方阵,则 。5,且,则 = 。6已知向量组的秩为2,则 。二、单项选择题(每小题4分,共32分)7若行列式,则 。A B C D8对行列式做 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行9对任意同阶方阵,下列说法正确的是 。A. B. C. D. 10,则 。A B C D11设可逆,则的解是 。A B C D不存在12若向量组线性相关,则它的部分向量组是 。A. 线性相关 B. 线性无关 C. 或者线性相关,或者线性无关 D. 既不线性相关,也不线性无关 13若方程组有无穷多解,则 。A. 必有无穷多解 B. 可能有惟一解 C. 可能无解 D. 以上答案都不对14n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 。A.矩阵A有n个特征值 B.矩阵A有n个线性无关的特征向量C.矩阵A的行列式 |A|0 D. 矩阵A的特征多项式没有重根三、计算题(每小题8分,共40分)15计算行列式:。 16解矩阵方程,求,其中=。17写出方程组的通解。18设向量组线性相关,向量组线性无关,试说明(1)能否由线性表示?(2)能否由线性表示? 19设方阵与相似,求。四、证明题(本题4分)20设阶方阵满足关系式,证明可逆,并写出的表达式。 答案一、填空题(每小题4分,共24分)1已知排列为奇排列,则。解:可取:5,8或8,5,因为是奇排列,可验证为5,8,其。2若将阶行列式的每一个元素添上负号得到新行列式,则=。 解:即行列式的每一行都有一个(-1)的公因子,所以=。3设阶方阵满足关系式, 且,则= E 。 解:矩阵运算,由于,且,所以有: 。4设为5 阶方阵,则 。 解:由矩阵的行列式运算法则可知:。5,且,则 = -4 。 解: 。6已知向量组的秩为2,则 9/2 。解:利用矩阵的秩求:。二、单项选择题(每小题4分,共32分)7若行列式,则 B 。A B C D解:由于,所以,选(B)8对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行解:A. 行列式变号;B. 相当于该矩阵的非零数倍;C.没有该种变换;D.对,性质6。9对任意同阶方阵,下列说法正确的是 C 。A. B. C. D. 解:转置的性质决定:,选(C)10,则 D 。A B C D解:仅对A作行变换,先作,将第一行加到第三行上,再作,交换一二行。选(D)11设可逆,则的解是 B 。A B C D不存在解:因为,所以选(B)。12若向量组线性相关,则它的部分向量组是 C 。A. 线性相关 B. 线性无关 C. 或者线性相关,或者线性无关 D. 既不线性相关,也不线性无关 解:如线性相关但线性相关,而线性无关,所以选(C)。13若方程组有无穷多解,则 C 。A. 必有无穷多解 B. 可能有惟一解 C. 可能无解 D. 以上答案都不对解:根据线性方程组解的判定定理,可知选(C)14n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 B. 。A.矩阵A有n个特征值 B.矩阵A有n个线性无关的特征向量C.矩阵A的行列式 |A|0 D. 矩阵A的特征多项式没有重根。 解:定理:n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。三、计算题(每小题8分,共40分)15计算行列式:。 解:先提出各列的公因子,再利用展开法则得到原式。16解矩阵方程,求,其中=。解:, 。17写出方程组的通解。解: 。18设向量组线性相关,向量组线性无关,试说明(1)能否由线性表示?(2)能否由线性表示? 解:(1) 因为线性无关,所以线性无关,而线性相关, 所以可以由线性表示,且表示形式是唯一的。 (2)如果能由线性表示,由(1)知就可以由线性表示, 这与线性无关矛盾,所以不能由线性表示。19设方阵与相似,求解:由与相似可知,的特征值为,于是由性质得,四、证明题(本题4分)20设阶方阵满足关系式,证明可逆,并写出的表达式。 证明:因为, 从而可逆,并且。
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