高考知识点典型例题平面向量知识点典型例题平面向量 量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研平究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可面以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 向 刻划每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要 量内容列表如下: 相运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 ,关加法与 += =(x,y),=(x,y) 记OAOBOCOAOB1112知 减法 ,则=(x+x,y+y) OAOB，1212 = ABOB,OA识 =(x-x,y-y) OBOA,2121关, 系+= ABOAOB 表 ,实数与 = 记=(x,y) ABaa向量的,向?R 则=(x,y) a乘积 量 的 两个向 记axybxy,(,),(,) ababab,cos, 一、向量的有关概念 1122概量的数, 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来则?=xx+yy ab1212 量积 念 表示向量的有向线段的长度). 及(二)运算律 2.向量的表示方法: 运加法:?(交换律); ?(结合律) abba，,，()()abcabc，,，?字母表示法:如等. abc, 算 实数与向量的乘积:?; ?;? ,()()aa,()abab，,，(),，,，aaa ?几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. ABCD, ?坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点OA两个向量的数量积: ?=?; ?()?=?()=(?);abbaababab ,A坐标为,则称为的坐标,记为=. xy,xy,xy,OAOA， ?(+)?=?+? abcacbc注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 注:根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的向3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 量2,相等.两向量与相等,记为. 2abab,2例如(?)= abaabb,，2的 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 概(三)运算性质及重要结论 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 念?平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这ee,125.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一及个单位向量. 个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称,aee,，,ee，a1211221122运6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以为的线性组合。 ee,12算 移到同一直线上.规定:与任一向量共线. 0?其中叫做表示这一平面内所有向量的基底; ee,12注:共线向量又称为平行向量. ?平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的ee,127.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 和,并且这种分解是唯一的. 二、向量的运算 (一)运算定义 ,这说明如果且,那么,. aee,，,aee,，,112211221122?向量的加减法，?实数与向量的乘积，?两个向量的数量积,这些运算?当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此ee,12的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数第1页 第2页 , 即若A(x，y)，则=(x,y);当向量起点不在原点时，向量坐标为终点ABOA， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则: 例3. 设abc , 坐标减去起点坐标，即若A(x,y)，B(x,y)，则=(x-x,y-y) AB11222121?(?)(?)=0 ?|-|0;当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,abab, 例5. 正方形对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=PRSQOP|b|, ,(0，3)，=(4，0)，则=( ) RMOS 向当,确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意ab717771 (A)(,) (B)() (C)(7，4) (D)() ,量义。 222222 的 ?两个向量垂直的充要条件 例6.已知,则实数x=_. axbab,3,2,4,，,概 符号语言: a,b,a,b,0例7.已知abab，,2,8,6,4,则_, _,与的夹角a,b,ab，念,向及坐标语言:设非零向量，则 ab,xyxy,xx，yy,0a,b,的余弦值是_. ，12121122量运?两个向量数量积的重要性质: 的 ABC3,3,6,0,5,3,ABC例8. 已知的三个顶点分别为求的大，ACB，算 22,概2小. ? 即 (求线段的长度); a,|a|a|,a念 ,及?(垂直的判断); a,b,a,b,0运 ab,? (求角度)。 cos, 算 ab,例9. 已知?ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为,以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由AD，求点D和向量AD坐标。 此可以看到向量知识的重要价值. , 注:?两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个abab,cos,ab,数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ?叫做向量在方向上的投影(如图). cos,abb数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积. abaab,例10.在?OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|?|=1?3，|?OAONOM?如果,则=, Pxy(,)Pxy(,)PP(,)xxyy,111222122121|=1?4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表OBOAaOBbab22?,这就是平面内两点间的距离公式. PPxxyy,，,()(),122121示向量. OP向量例1(在中，( ) ABCDBCCDBA,，,的 概念 ()BCA()DAB()ABC()ACD 及运, 算 AB例2.平面内三点,若?，则x的值为( ) ABCx(0,3),(3,3),(,1),BC (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5 第3页 第4页 线段的定比分点 例11.点例14.若将曲,当h，k中有一个为零时，就对应的解析式为ykfxh,()A(m,n)关于点线C:yfx,()1.定义:设是直线上的两点,点P是上不同于PP、PP、是前面已经研究过的左右及上下平移. 11212 B(a,b)对称点平移到C,使注:函数图象平移口诀:左加右减,上加下减. 注意这里是指函2的任意一点,则存在一个实数使,叫做点P分有PPPP,(12 的坐标是( ) 得曲线C上一1数解析式的变化,另外注意顺序性. 向线段所成的比.(如图) PP(12(A)(,m，,n) 点P的坐标由定(B)(a,m，b(1,0)变为(2,2),比 ,n) 则C的方程是 2分(C)(a,2m，b( ) ?P在线段上,P为内分点时,; PP,012点 (A)(yfx,，(1)2,2n) ?P在线段或的延长线上, P为外分点时,. PPPP,01221B) yfx,(1)2(D)(2a,m，PP12b,n) (C)(yfx,，,(1)2?内分取 “+”, 外分取 “一”. ,例12(设D) yfx,，(1)2PP2AB(5,6),(3,4)例15. 把函数2. 定比分点坐标公式: PP12，直线AB交x的图yx,sin设、， Pxy(,)Pxy(,)Pxy(,)PPPP,轴于C点，则11122212象按xx，,12点C分所成ABx,平a,21则: , ,1，,，,的比为() 4,yy，,512,y移后得到的函, ()A,1，,，,xx412数解析式为-,x,32_. 特殊地，得中点坐标公式: 当时,1 ()B,，2yy解解斜三角形: ,12,y,42,三常用的主要结论有: ()C,0 另外，注意一下定比分点的向量公式: 5角(1)A+B+C=180 ?任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 2 O为平面内任意一点， PPPP,形 ?等边对等角:; 大边对大角:. abAB,abAB,12 ()D,311OPOP，,12r?底高=(其中是内切圆半径) S,rabc()，则. OP(1),ABC22,，,1 有时直接运用它来考虑更简便! ,abCsin23. 三角形重心公式及推导(见课本例2): abcx，x，xy，y，y?(正弦定理) ,2R123123三角形重心公式: (,)sinsinsinABC33 平1.图形平移:设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的例13.设向量2222?(余弦定理) abcbcAb,，,2cos,移 点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形a,AB,(7,5) F，我们把这一过程叫做图形的平移。 AB则将按解cb,52,5B,45,VABC例16.在中,则a等于( ) 2.平移公式:点Pxy,按 ，a,3,6平移，三,52(A) (B) (C) (D) 51053ahk,向量平移到Pxy, ，角，00得到AB的坐例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔形 xxh,，,标表示为( ) 高为( ) 则(新=旧+移) ,(A)(0,1) yyk,，,40040032003200(B)(4,-11) (A)米 (B)米 (C)米 (D)米 ahk,其中叫做平移向量. ，333(C)(7,-5) 3,(D)(3,6) axb,2,B,45例18(在中，,若这个三角形有两解，则的取值范xABC,3. ?设曲线C:y=f(x)按=(h，k)平移，则平移后曲线aC第5页 第6页 围是( ) 我在研究奥运冠军的时候也发现，运动员夺冠的精神，也可以帮运动员突破新