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2022届中考数学解题方法之解推理与证明 推理与证明 一、利用三角形全等证明线段相等和角相等 我们知道假如两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等,对应角相等。全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等供应了方法。 例1 已知:如图,为上一点,点分别在两侧,求证: 分析:从图形中我们发现,ac、cd正好是 abc和cde的对应边,我们只要证明白abc和cde 全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢?我们从已知条件出发,展开联想,寻找出全等的条件即可。 题目中的第一个条件:b=e 题目中的其次个条件:,正好分别是等角的边。 这时,三角形全等的条件齐了,可以书写证明过程了。 证明:, 在和中, 在上面的证明过程中,我们是怎样书写证明过程的呢? 上面的证明过程可以分为三局部: 第一局部,使用了一个逻辑推理。,这个推理为后面证明两个三角形全等起到準备条件的作用,也就是说,在证明三角形全等的三个条件中,已知条件中已经具备了两个,还需要一个条件,这个推理为三角形全等找到了第三个条件。 其次局部,证明两个三角形全等。 第三局部,利用全等三角形的性质,推理得出线段相等。 :学科网zxxk 例2 如图,在等腰梯形中,是的中点, 求证: 分析:从图中我们发现,线段mb,mc可以看成是 abm和cdm的对应边,我们只要证明白abm和cdm 全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢?我们从已知条件出发,展开联想,寻找出全等的条件即可。 题目中的第一个条件: 在等腰梯形中,ab=cd,a=d 题目中的其次个条件:是的中点am=dm。 这时,三角形全等的条件齐了,可以书写证明过程了。 证明:在等腰梯形中, 是的中点 在和中, (sas) 上面的证明过程可以分为三局部: 第一局部,使用了两个逻辑推理。 在等腰梯形中, 是的中点 这两个推理为后面证明两个三角形全等起到準备条件的作用,也就是说,在证明三角形全等的三个条件中,已知条件中没有给出现成的条件,需要寻找三个条件,这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。 其次局部,证明两个三角形全等。 第三局部,利用全等三角形的性质,推理得出线段相等。 例3 已知:如图,四边形abcd中,求证: 分析:根据上面的经验,假如我们能把a,c 看作两个三角形的对应角,我们只需证明两个三角形全等 即可。但是图中没有三角形,怎么办? 我们可以新增“辅助线”,构造全等三角形。 如图,连线b、d,得到abd和cbd,我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。:学+科+网 显然,已知条件中已经有了两个全等的条件,而我们 新增的“辅助线”正好是两个三角形的公共边,是全等的第 三个条件。这时,两个三角形全等的条件已经具备,我们来书写证明过程: 证明:连线bd 在和中, 另外,我们还可以这样来新增“辅助线”: 如图,连线a、c,得到abc和acd,我们只要能够证明bad和bcd被ad分成的两局部分别相等就可以了。 题目中的第一个条件:ab=bcbac=bca 题目中的其次个条件:ad=cddac=dca 证明:连结 ,同理 这个证法使用等边对等角,先证明白bad和bcd的两个局部分别相等,又使用等式的性质,证明白bad和bcd整体相等。 例4 如图,在中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且求证:是的中点. 分析:这个题目要证明d是bc的中点,也就是证明bd=dc, 也是证明两条线段相等,从图中我们可以看出,bd与dc所在的两个三角形abd和acd的形状不同,显然,利用这两个三角形全等来证明bd=dc是不行的。 我们再仔细、全面地观察图形,发现aef和dbe的形状、大小一样,这两个三角形有可能全等。 我们从已知条件出发,展开联想: 题目中的第一个条件:是的中点ae=de 题目中的其次个条件: 过点作的平行线交的延长线于,即afbcafe=dbe 题目中的第三个条件:假如af=bd成立,则bd=dc成立。 图中还有一对对顶角。 这时,可以先证aef和dbe全等,得到af=bd,然后根据,可以得到bd=dc了,下面书写证明过程: 证明:是的中点 ae=de afe=dbe 在aef和deb中 aefdeb af=db db=dc 即是的中点 在这个题目中,bd与dc所在的两个三角形abd和acd的形状不同,显然,利用这两个三角形全等来证明bd=dc不行,而发现aef和dbe的形状、大小一样,这两个三角形有可能全等(实际上aef和dbe全等)。在证明白这两个三角形全等后,题目的第三个条件就是一座桥,通过这个条件使证明得以完成。 例5 在梯形abcd中,abcd,a=90, ab=2,bc=3,cd=1,e是ad中点求证:cebe :学科网 分析:如图,要证明cebe,有两种方法: 一是证明bce是直角三角形;二是证明ced+bea=90。 (一)假如证明bce是直角三角形,通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。这样就要知道三边ce、be、cd的长度。 我们从已知条件出发,展开联想: 题目中的第一个条件:在梯形abcd中,abcd,a=90d=90 即ecd和eba都是直角三角形。 题目中的其次个条件:ab=2,bc=3,cd=1,这些资料可以帮助我们分别求出ce、be的长度。 题目中的第三个条件:e是ad中点de=ae=ad:z|xx| 在rtecd和rteba中,要分别求出ce、be的长度还需要知道de和ae的长度,而de=ae=ad,因此,需要求出ad的长度。 如图,通过作“辅助线”:过c作cfab,垂足为f,很 简单知道四边形afcd是矩形,cf=ad,cbf也是直角三角形。 我们可以在这个直角三角形中求出cf的长,这样也就知道了da的长,进而de、ae的长也知道了。要求出cf,关键是知道bf=abcd=1。 证明: 过点c作cfab,垂足为f 在梯形abcd中,abcd,a=90, dacfa90 四边形afcd是矩形 ad=cf af=cd bf=ab-af=abcd=1 在rtbcf中,根据勾股定理,得 cf2+bf2=bc2 cf= ad=cf= e是ad中点 de=ae=ad= 在rtabe中,根据勾股定理,得 ae2+ab2=be2 be2=6 同理,ec2 =3, 在bce中,eb2+ ec2=9=bc2 ceb90 即ebec (二)假如证明ced+bea=90,由于题目中给出已知条件是线段的长度,在一般情况下,只知道线段的长度是不能求出ced和 bea的度数,显然不能利用这种方法证明结论成立。 (留意:假如ced+bea+cef+bef=180, 且ced=cef,bea=bef,就可以得到: ced+bea+cef+bef=2(ced+bef)=180 ced+bef=90) 例6 把两个含有45角的直角三角板abc和edc如图放置,点d在bc上,连结be,ad,ad的延长线交be于点f求证:afbe 分析:图中有两个等腰直角三角形,就有许多相等 的线段和角,证明三角形全等比较简单。但是图形比较 複杂,不简单找出全等三角形。 我们从已知条件出发,展开联想: 题目中的第一个条件: 两个含有45角的直角三角板abc和edc ac=bc,cd=ce,abc=dce=90 acd和bce全等 题目中的其次个条件:点d在bc上bc与af相交与dadc=bdf 利用全等三角形对应角相等,可以得到dacebc,再利用对顶角相等,可以知道bfd和acd已经有两个角对应相等,那么第三个角肯定相等。而第三个角中有一个角是直角,那么另一个角也肯定是直角。 证法一:在acd和bce中 acdbce(sas) dacebc adcbdf acd=bfd90 即afbe 我们发现上面使用红字的推理使用了简写,完整的书写应该是: 在acd和bce中 dacebc adcbdf dacadc 180(dacadc)=180(ebcbdf) 即acd=bfd acd=90 bfd90 即afbe 证法二:在rtacd和rtbce中, acbc dcec, 即tandactanebc dacebc adcbdf ebcbdfdacadc=90 bfd=90 afbe (留意:在直角三角形中,假如两个角的三角函式值相等,那么这两个角也相等。在其它三角形中这个命题则不肯定成立。) 二、与四边形有关的证明 与四边形有关的证明,主要是证明符合条件的图形是我们熟识的特别四边形。这类题目的证明,首先要求我们熟识各种特别四边形的性质和判定,然后根据题目的已知条件选择方法,最后完成证明。 例7 如图,在四边形中,点是线段 上的任意一点(与不重合),分别是 2022年中考数学总複习 解题方法三 推理与证明 推理与证明 一 利用三角形全等证明线段相等和角相等 我们知道假如两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等,对应角相等。全等三角形的性质为.
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