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数学奥赛辅导 第五讲 高斯函数知识、方法、技能这一讲介绍重要的数论函数,称为高斯函数,又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一:对任意实数是不超过的最大整数,称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质:(1)的定义域为R,值域为Z;的定义域为R,值域为(2)对任意实数,都有.(3)对任意实数,都有.(4)是不减函数,即若则,其图像如图I 451;是以1为周期的周期函数,如图I 452. 图451 图452(5).其中.(6);特别地,(7),其中;一般有;特别地,.(8),其中.【证明】(1)(7)略.(8)令,则,因此,.由于,则由(3)知,于是,证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一:,且1至x之间的整数中,有个是的倍数.【证明】因,此式说明:不大于x而是n的倍数的正整数只有这个:定理二:在!中,质数的最高方次数是【证明】由于是质数,因此含的方次数一定是1,2,各数中所含的方次数的总和.由定理一知,1,2,n中有个的倍数,有个2的倍数,所以此定理说明:,其中M不含的因数.例如,由于+=285+40+5=330,则2000!=7330M,其中7 M.定理三:(厄米特恒等式)【证法1】引入辅助函数因对一切成立,所以是一个以为周期的周期函数,而当时,直接计算知,故任意,厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于消去后得到与原等式一样的等式,只不过是对,则一定存在一个使得,即,故原式右端另一方面,由知,在这批不等式的右端总有一个等于1,设. 这时,而,因此原式的左端是个1之和,即左端故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式,也适用于证明不等式.,这个方法是:第一步“弃整”,把对任意实数的问题转化为的问题;第二步对分段讨论.高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理.定理四:设函数上连续而且非负,那么和式内的整数)表示平面区域内的格点个数.特别地,有(1)位于三角形:内的格点个数等于为整数);(2),矩形域内的格点数等于 (3),圆域内的格点个数等于.(4),区域:内的格点个数等于.这些结论通过画图即可得到.赛题精讲例1:求证:其中k为某一自然数.(1985年第17届加拿大数学竞赛试题)证明2为质数,n!中含2的方次数为若故反之,若n不等于2的某个非负整数次幕,可设n=2sp,其中p1为奇数,这时总可以找出整数t,使由于n!.这与已知矛盾,故必要性得证.例2:对任意的 (第10届IMO试题)【解】因对一切k=0,1,成立,因此,又因为n为固定数,当k适当大时,例3:计算和式(1986年东北三省数学竞赛试题)【解】显然有:若503是一个质数,因此,对n=1,2,502, 都不会是整数,但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1,于是,+故例4:设M为一正整数,问方程,在1,M中有多少个解?(1982年瑞典数学竞赛试题)【解】显然x=M是一个解,下面考察在1,M中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程,化简得所以上式成立的充要条件是2xx为一个整数.例5:求方程(第36届美国数学竞赛题)【解】经检验知,这四个值都是原方程的解.例6:(第10届美国数学竞赛试题)这道题的原解答要极为复杂,现用数学归纳法证明如下.【证明】由于例7:对自然数n及一切自然数x,求证:【证明】例8:求出的个位数字.(第47届美国普特南数学竞赛试题)【解】先找出的整数部分与分数部分.=其中分母的个位数字为3,分子的个位数字为9,故商的个位数字为3.
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