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第1章 命题逻辑本章重点:命题与联结词,公式与解释,真值表,公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式,命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。命题必须具备二个条件:其一,语句是陈述句;其二,语句有唯一确定的真假意义. 2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词,P是命题,P是P的否命题,是由联结词 和命题P组成的复合命题.P取真值1,P取真值0,P取真值0,P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词,PQ是命题P,Q的合取式,是“”和P,Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但而且”,“既又”. PQ取值1,当且仅当P,Q均取1;PQ取值为0,只有P,Q之一取0.h “”析取联结词,“”不可兼析取(异或)联结词, PQ是命题P,Q的析取式,是“”和P,Q组成的复合命题. PQ是联结词“”和P,Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义,前者表示相容或,后者表示排斥或不相容的或. 即“PQ”“(PQ)(PQ)”. PQ取值1,只要P,Q之一取值1,PQ取值0,只有P,Q都取值0. h “”蕴含联结词, PQ是“”和P,Q组成的复合命题,只有P取值为1,Q取值为0时,PQ取值为0;其余各种情况,均有PQ的真值为1,亦即10的真值为0,01,11,00的真值均为1. 在语句中,“如果P则Q”或“只有Q,才P,”表示为“PQ”.h “” 等价联结词,PQ是P,Q的等价式,是“”和P,Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“当且仅当”,PQ取值1当且仅当P,Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释,命题公式的分类与判别 h命题公式与赋值,命题P含有n个命题变项P1,P2,Pn,给P1,P2,Pn各指定一个真值,称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1,则这组值为P的真指派;若使P的真值为0,则称这组值称为P的假指派. h命题公式分类,在各种赋值下均为真的命题公式A,称为重言式(永真式);在各种赋值下均为假的命题公式A,称为矛盾式(永假式);命题A不是矛盾式,称为可满足式;判定命题公式类型的方法:其一是真值表法,任给公式,列出该公式的真值表,若真值表的最后一列全为1,则该公式为永真式;若真值表的最后一列全为0,则该公式是永假式;若真值表的最后一列既非全1,又非全0,则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律),对给定公式进行等值推导,若该公式的真值为1,则该公式是永真式;若该公式的真值为0,则该公式为永假式.既非永真,也非用假,成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法,该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项),则该公式是永真式;该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项),则该公式是永假式;该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,,则该公式是可满足式.h等值式AB,命题公式A,B在任何赋值下,它们的真值均相同,称A,B等值。定理1 设F(A)是含命题公式A的命题,F(B)是用命题公式B置换F(A)中的A之后得到的命题公式. 如果AB,则F(A)F(B). 4. 范式h 析取(合取)范式,仅有有限个简单合取式(析取式)构成的析取式(合取式),就是析取(合取)范式. h 极小项(极大项),n个命题变项P1,P2,Pn,每个变项或它的否定两者只有其一出现且仅出现一次,第i个命题变项或者其否定出现在从左起第i个位置上(无脚标时,按字典序排列),这样的简单合取式(析取式)为极小项(极大项). 以两个命题变项为例,m00=PQ,m01=PQ,m10=PQ,m11=PQ是极小项;M00=PQ,M01=PQ,M10=PQ,M11=PQ是极大项.h 主析取范式(主合取范式) 含有n个命题变项的命题公式,如果与一个仅有极小项(极大项)的析取(合取)构成的析取(合取)范式等值,则该等值式称为原命题公式的主析取(合取)范式。每项含有n个命题变项(变项字母齐全)的合取式(析取式)的析取(合取)为主析取(合取)范式.任意命题公式都存在与之等值的范式,存在与之等值的主范式,且是惟一的. 求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式. 关键有两点:其一是准确掌握范式定义;其二是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和摩根律,结果的前一步适当使用幂等律. 求析取(合取)范式的步骤: 将公式中的联结词都化成,(即消去个数中的联结词,); 将否定联结词消去或移到各命题变项之前; 利用分配律、结合律等,将公式化为析取(合取)范式. 求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤 求公式A的析取(合取)范式; “消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项),如PP(PP)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并,如PP(PP)用P替代,mimi(MiMi)用mi(Mi)替代. 若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项Pi或Pi,则添加PiPi(PiPi),再利用分配律展开,使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全; 将极小(极大)项按由小到大的顺序排列,用S(P)表示. 5. 命题演算的推理理论h设A1,A2,An,C是命题公式,如果是重言式,称C是前提集合 A1,A2,An的有效结论或A1,A2,An逻辑地推出C。记作掌握演绎或形式证明. 要理解并掌握14个重言蕴含式(即I1I14),17个等值式(E1E17);二是会使用三个规则(P规则、T规则和CP规则)。推理方法有:真值表法;等值演算法;主析取范式法,构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)二、实例例1.1 判别下列语句是否命题?如果是命题,指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊! (4) 请你跟我走!(5)火星上也有人. 解 (1) 是命题,真值为1. (2) 是命题,真值为0. (3), (4)不是命题因为不是陈述句.(5) 是命题. 真值是唯一的,迟早会被指出. 例1.2 将下列命题符号化:(1) 虽然交通堵塞,但是老王还是准时到达火车站; (2) 张力是三好生,他是北京人或是天津人.(3) 除非天下雨,否则我骑车上班.解 (1) 设P:交通堵塞,Q:老王准时到达火车站. 该命题符号化为:PQ. (2)设P:张力是三好生; Q:张力是北京人,R:张力是天津人.该命题符号化为P(QR ). (3)设P:天下雨,Q:我不骑车上班.该命题符号化为:QP,义即“只有天下雨,我才不骑车上班”,不下雨是我骑车上班的必要条件。它的等价说法是“如果天不下雨,我就骑车上班”,即PQ“如果天下雨,我就不骑车上班”,这是蕴含关系,符号化为:PQ注:本例各小题都是复合命题。如“李枚和张樱花是好朋友”是简单命题,用字母P表示。显然P:李枚是好朋友,Q:张樱花是好朋友,符号化为QP是不通的.例1.3 证明:P(QR)PQR.证明 方法1 真值表法. 列公式P(QR)与PQR的真值表如表11. . 表11 公式P(QR)与PQR的真值表 PQRQRP(QR)PQPQRP(QR)PQR0001101100111011010010110111101110011011101110111100010111111111由表可知,公式P(QR)与PQR的真值完全相同,故P(QR)PQR. 或由表的最后一列可知,PQPQ是重言式,故P(QR)PQR.注:作为本例的证明可以不要最后1列。若本例改为判断P(QR)PQR的类型,由最后列可知P(QR)PQR是重言式.方法2 等值演算法.P(QR)P(QR) (等值蕴含式)P(QR) (等值蕴含式)(PQ)R (结合律)(PQ)R (摩根律)PQR (等值蕴含式)所以,P(QR)(PQ)R例中等值演算的每一步都用到了置换规则. 由等值演算的传递性,可知第一个公式P(QR)和最后一个公式PQ)R等值. 方法3 主范式法.P(QR)P(QR)PQR(主合取范式)PQR(PQ)RPQR(主合取范式)P(QR)与PQR的主合取范式相同,故P(QR)PQR。注:(1)容易写出P(QR)与PQR的主析取范式均为m0m1m2m3m4m5m7即 (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(2) 由真值表求公式P(QR)的主析取范式,先列出P(QR)的真值表,见表11。主析取范式是公式P(QR)真值为1的项的析取,真值为1的项,即极小项,有第1,2,3,4,5,6,8共7项. 而极小项是合取式,合取式为1,必定是每个变元或其否定为1,如表11中第1行P,Q,R均取1,所以这一项为PQR,类似地,7个极小项为:PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR所以P(QR)的主析取范式为: (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)例1.4 用等值演算法判定公式P(QR)PQR是永真式?永假式?可满足式?解 等值运算法. P(QR)PQR(P(QR)PQR (P(QR)P(QR)PQR (P(QR)(PQR)PQR (P(QR)(PQR)PQR (P(QR)(PQR)PQR (P(QR) PQR)(PQR)
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