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数学破题36计第7计 模特开门 见一知众计名释义一时装模特,在表演时,自己笑了,台下一片喝彩声. 她自感成功,下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖,反而把她炒了. 冤枉不?不冤枉!模特二字,特是幌子,模是目的.模特表演是不能笑的. 试想,模特一笑,只能显示模特本人的特色,谁还去看她身上的服装呢?所以,模特一笑,特在模掉!数学的特殊性(特值)解题,既要注意模特的特殊性,更要注意模特的模式性(代表性),这样,才能做到“一点动众”. 特值一旦确定,要研究的是特值的共性.选择题中的“特值否定”,填空题中的“特值肯定”,解答题中的“特值检验”,都是“一点动众”的例子.典例示范【例1】 如果0a(1-a) B.log(1-a)(1+a)0C.(1-a)3(1+a)2 D.(1-a)1+a1【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值,作为本题的模特.令a=,各选项依次化为: ( )A B. C D. 显然,有且仅有A是正确的,选A.【点评】 本题是一个选择题,因此可以选一个模特数代表一类数,一点动众.你还需要讲“道理”吗?为减函数,log0,B不对;也是减函数,,D不对;直接计算,C也不对;只有A是对的.【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零,同时满足:f (x+y)=f (x)f (y),且当x0时,f (x)1,那么当x0时,一定有 ( )Af (x)-1 B.-1f (x)1 D.0f (x)0时,f (x)1,根据指数函数的性质,当x0时,02x1.即0 f (x)1. 选D.【点评】 题干中的函数抽象,先选定特殊的指数函数使之具体,而指数函数无穷无尽地多,索性再特殊到底,选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金,你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗?【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = f (0)2 ( f (x)0), 则f (0)=1, f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 当x0.由条件:f (-x)1, 故x0时, 0 f (x)1.【例3】 若A, B, C是ABC的三个内角,且ABC (C), 则下列结论中正确的是( )A.sinAsinC B.cosAcosC C.tanAtanC D.cotAcotC【思考】 本题的模特是取特殊角. 令A=30, B= 45,C=105, 则cosC0,tanC0,cotC0,由图(2)知g(x)0,故当x(-2, -1)时,应有y= f (x)g(x)0. 选B.点评 无须弄清图(1)、图(2)到底表示什么函数,不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意,选定特殊区间(-2,-1)一次检验即解决问题.
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