21信号与系统第四章 连续时间信号与系统的复频域分析4.1 拉普拉斯变换4.1.1 拉普拉斯变换的定义图4.1 几种信号的波形4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域图4.2 收敛域图4.3 例4.2的收敛域图4.4 例4.3的收敛域4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换4.2 拉普拉斯变换的性质4.2.1 线性性质4.2.2 时移（延时）特性图4.4例4.3的收敛域图4.5 例4.6的4种信号的波形图图4.6 t(t)与信号f4（t）信号之间的关系图图4.7 有始周期信号示意图图4.8 矩形脉冲序列的波形图图4.9 正弦脉冲信号图4.2.3 尺度变换（展缩性质）4.2.4 频移特性4.2.5 时域微分定理图4.10 例4.10用图4.2.6 时域积分定理图4.11 信号f（t）和f（t）的图形图4.12 信号f（t）和f（t）的图形4.2.7 S域微分定理4.2.8 S域积分定理4.2.9 初值定理4.2.10 终值定理4.2.11 时域卷积定理4.3 拉普拉斯反变换4.3.1 逆变换表法4.3.2 部分分式展开法（海维塞展开法）4.3.3 围线积分法（留数法）图4.13 围线积分路径4.4 LTI系统的复频域分析4.4.1 微分方程的拉氏变换解法图4.14 例4.23的电路图4.4.2 拉普拉斯变换法分析电路和S域元件模型图4.15 电阻及其S域模型图4.16电容及其S域模型图4.17电感及其S域模型图4.18 耦合电感及其S域模型图4.19 RLC串联电路图与S域模型图4.20 例4.24题电路图图4.21 例4.25的电路及S域模型图4.22 例4.26电路图与S域模型4.5 系统函数H(s)4.5.1 H(s)的定义与性质图4.23 时域分析和S域分析对应关系示意图4.5.2 利用系统函数H(s)求解连续时间LTI系统的响应图4.24 系统零状态响应的复频域分析法过程示意图图4.25 有源系统的等效电路示意图图4.26 例4.29题图4.5.3 系统的方框图表示与模拟图4.27 系统基本联接方式示意图图4.28 运算器在时域和S域中表示的符号图4.29 系统的S域模拟图图4.30 系统的S域模拟框图图4.31 系统的时域与S域模拟框图4.5.4 系统函数的零、极点与系统特性的关系图4.32 系统函数的零、极点图图4.33 因果系统H(s)的单极点与时域函数关系图4.34 用矢量来表示因子(j-zr)和(j-pi)4.6 系统的稳定性4.6.1 系统稳定的概念图4.35 系统S域模拟框图4.6.2 稳定性判据图4.36 反馈控制系统图4.7 习题1. 求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。（1） e-at(t) a0 （2） -eat(-t) a0（3） eat(t) a0（4） e-a|t| a0（5） (t-4)（6） （t-）（7） e-t(t)+e-2t(t)（8） cos(0t+)(t)2. 求如图4.37所示信号的拉普拉斯变换。图 4.373. 对如图4.38所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。图 4.38（1） f（t）的傅里叶变换存在 （2） f（t）e2t的傅里叶变换存在（3） f（t）=0 t0 （4） f（t）=0 t54. 针对如图4.39所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定：（1） 拉氏变换式；（2） 零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。图 4.395. 对于下列信号，判断拉氏变换是否存在。若存在，求出其拉氏变换式及收敛域。（1） t(t) （2） t2(t)（3） te-2t(t)（4） et2(t)（5） eet (t)（6） f（t）=e-t t0et t06. 利用拉普拉斯变换的性质，求下列信号的拉氏变换，并画出零极点图。（1） (t+1)(t-1) （2） te-t(t-)（3） （t+1）e-t(t)（4） t2e-at(t)（5） sint(t)-(t-1)（6） sin(t)cos(t)(t)（7） sin(t)(t-)（8） sin(t-)(t) （9） sin2t(t)（10） |sint|(t)（11） te-atcos(t)(t)（12） sin(at)t(t)（13） t0sin()d（14） t00sin(x)dxd（15） ddte-atsin(t)(t)（16） e-(t -t0)sin(t+)(t)（17） d2dt2sin(t)(t)（18） d2sin(t)dt2(t)（19） t0sind（20） e-atftb(t)7. 求如图4.40所示单边周期信号的拉氏变换。图 4.408. 求下列象函数的拉氏反变换f（t）。（1） F(s)=s+3s2+2s+2（2） F(s)=s2e-ss2+2s+5（3） F(s)=s（s+1）（s+2）（4） F(s)=s2s3+3s2+7s+5（5） F(s)=lns-1s（6） F(s)=s2-s+1s3-s29. 求下列各象函数的原函数f（t）的初值与终值。（1） F(s)=s+3s2+3s+2（2） F(s)=s2+5s(s2+2s+4)（3） F(s)=ss4+5s2+4（4） F(s)=e-s5s2(s-2)3（5） F(s)=s+3(s+1)2(s+2)（6） F(s)=1s+1s+110. 已知LTI因果系统的系统函数H(s)及输入信号f（t），求系统的响应y(t)。（1） H(s)=2s+3s2+6s+8,f（t）=(t)（2） H(s)=s+4s(s3+3s+2),f（t）=e-t(t)（3） H(s)=s2+2ss(s2+9),f（t）=e-2t(t)（4） H(s)=s+1s2+5s+6,f（t）=te-t(t)11. 计算下列微分方程描述的因果系统的系统函数H(s)。若系统最初是松弛的，而且f（t）=(t)，求系统的响应y(t)。（1） y(t)+4y(t)+3y(t)=f（t）+f（t）（2） y(t)+4y(t)+5y(t)=f（t）如果f（t）=e-t(t)，系统的响应y(t)又是什么？12. 对一个LTI系统，已知：输入信号y(t)=4e2t(-t)；输出响应y(t)=e2t(-t)+e-2t(t)。（1） 确定系统的系统函数H(s)及收敛域；（2） 求系统的单位冲激响应h（t）；（3） 如果输入信号f（t）为f（t）=e-t，-t求输出y(t)。13. 描述某LTI系统的微分方程为y(t)+2y(t)=f（t）+f（t），求下列激励下的零状态响应。（1） f（t）=(t) （2） f（t）=e-t(t)（3） f（t）=e-2t(t)（4）f（t）=t(t)14. 描述某LTI系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f（t）+4f（t），求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。（1） f（t）=(t),y（0-）=0,y（0-）=1（2） f（t）=e-2t(t),y（0-）=1,y（0-）=115. 求下列方程所描述LTI系统的冲激响应h（t）和阶跃响应g（t）。（1） y(t)+4y(t)+3y(t)=f（t）-3f（t）（2） y(t)+y(t)+y(t)=f（t）+f（t）16. 已知某LTI系统的阶跃响应g（t）=(1-e-2t)(t)，欲使系统的零状态响应为yzs(t)=(1-e-2t+te-2t)(t)，求系统的输入信号f（t）。17. 某LTI系统，当输入f（t）=e-t(t)时，其零状态响应yzs(t)=(e-t-2e-2t+3e-3t)(t)，求该系统的阶跃响应g（t）。18. 电路如图4.41所示。在t=0之前开关K位于“1”端，电路已进入稳态，t=0时刻开关从“1”转至“2”，试求uc(t)与ic(t)。图 4.4119. 已知如图4.42（a）所示的RC电路，激励信号e(t)=n=0(t-n)，波形如图4.42（a）所示，试求零状态响应uc(t)，并指出瞬态响应分量和稳态响应分量。图 4.4220. 电路如图4.43所示，在t=0以前开关K位于“1”，且电路已达到稳态。t=0时刻开关倒向“2”。试求对于下列e1,e2时电容两端电压uc(t)：图 4.43（1） e1=0V， e2=e-2t(t)（2） e1=1V， e2=0V（3） e1=1V， e2=e-2t(t)（4） e1=1V， e2=2V21. 如图4.44所示双口网络，已知其S域阻抗矩阵为Z（s）=2s+1 1s+11s+1 1s+1，且RL=1,Rs=2，试求输出电压的冲激响应h（t）。图 4.4422. 如图4.45所示的零状态电路，图中ku2(t)是受控源，试求：图 4.45（1） 系统函数H(s)=U3(s)U1(s)；（2） k为何值时系统稳定；（3） 取k=2,u1(t)=sint(t)时，求响应u3(t)；（4） 取k=3,u1(t)=cost(t)时，求响应u3(t)；（5） 取k=3,u1(t)=sin2t(t)时，求响应u3(t)。