第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程与的求解问题1 变量可分离方程形如的方程，称为变量可分离方程，其中和分别是的连续函数。1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程，分离变量得，再积分，得，这就是方程的通解。注意：在变量分离的过程中，必须保证。但如果有根为，则不难验证也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。2）可化为可分离变量的方程齐次方程 ，令，方程可化为分离变量的方程，。分式线性方程 下面分三种情形来讨论：），这时 为齐次方程。）及，这时可作变换，其中是线性代数方程的唯一解，可将方程化为齐次方程 。）及，这时可设 ，方程可化为，再令，则方程可进一步化为 ，这是一个变量可分离方程。其它类型的方程利用整体代换的思想，可将其他类型的方程化为变量可分离方程。例如，令；，令；，令；，令。2 一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性方程，当时，称为一阶线性齐次方程，当不恒为零时，称为一阶线性非齐次方程。1)一阶线性方程的解法及其性质一阶线性方程的解法首先求其对应的线性齐次方程的通解：利用分离变量法可得其通解为，其中为任意常数，满足初始条件的解是。其次利用常数变易法求线性非齐次方程的通解：将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解，此方法称为常数变易法。可得通解为。满足初始条件的特解为 。线性非齐次方程通解的结构为：线性非齐次方程的通解等于其对应线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和。线性齐次方程解的性质性质1 必有零解；性质2 通解等于任意常数与一个非零特解的乘积；性质3 若均为齐次方程的解，则也是该方程的解，其中为任意常数。线性非齐次方程解的性质性质1 无零解，所有的解不能构成解空间；性质2 若是齐次方程的解, 是非齐次方程的解，则也是非齐次方程的解，其中为任意常数；性质3 若均为非齐次方程的解，则相应的齐次方程的解；性质4（叠加原理）若是的解, 是的解，则是的解。2) 可化为一阶线性方程的方程 迫努利(Bernoulli)方程形如的方程（是常数），称为伯努利方程，其中和为的连续函数。迫努利方程的解法作变换可将原方程变为 这是关于未知函数的线性方程，即可得到它的通解。黎卡提（Riccati）方程 形如的方程，称为黎卡提方程，其中和为的连续函数。黎卡提方程的解法显然当，这就是迫努利方程。当不恒为零时，一般无法对它精确求解，但如果已知它的一个特解，则可通过变换，而得到一个关于的迫努利方程，从而可求出它的通解，因此，求解黎卡提方程的关键是寻求它的一个特解。 雅克比（Jacobi） 方程形如的方程称为雅克比方程，其中是常数。雅可比方程的解法 作变换，其中是使得为关于为齐次的。变换之后，方程变为一阶的，而且的系数是齐次的，因此这里如果的选择使得成立，则的系数也变成了齐次的，或更加对称的，如果，即就是因此由下面的三次方程定义这样定义之后，就是的任意两个相容方程的解。方程可以被写成以下形式作变换可将该方程化为迫努利方程，这里只是的函数。另外，如果关于的方程有三个不等的根，则雅可比方程的通解形式为其中关于线性表式。3 一阶对称形式的微分方程若将一阶显式微分方程写成微分形式 （2.1）此形式称为一阶对称形式的微分方程。1）恰当方程 如果对称形式的方程（2.1）的左端恰好是某一个二元函数的全微分，则称该方程为恰当方程。恰当方程的判定定理2.1 假设函数和在某区域内连续可微，则方程（2.1）是恰当方程的充分必要条件是在此区域内恒有 成立。恰当方程的解法方法1 凑微分法利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式。方法2 不定积分法利用关系式 由此，函数应适合方程组，对 关于积分得 ，两端关于求导数，并利用恰当方程的充分必要条件，得，通过对方程关于积分，解出，从而可得的表达式，令，即得方程的通解。如果对关于积分，同理可得方程的通解为，其中可类似于求解的方法得到。方法3公式法方程的通解为：或，其中是任意常数。求解时，的选择要尽可能简单，且使有意义。注意：求解恰当方程的关键就是求方程左端微分式的原函数问题。2）非恰当方程积分因子及其性质对于方程（2.1），如果存在某连续可微的函数，使得为恰当方程，则称为方程（2.1）的一个积分因子。因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当方程转化为恰当方程的求解问题。性质1 只要方程（2.1）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，通解可能具有不同的形式。性质2 方程（2.1）的任意两个积分因子和之间必有函数关系。性质3 若方程（2.1）有两个积分因子和,且，则该方程的通积分为；注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检验。寻求积分因子的方法（1）观察法 利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子。（2）公式法 利用积分因子满足的微分方程来求积分因子。定理2.2 函数是方程（2.1）的积分因子的充分必要条件是满足一阶偏微分方程：。利用定理2.2，容易得到下列寻求积分因子的简捷方法。结论1 方程（2.1）有只与有关的积分因子的充分必要条件是此时，积分因子为。结论2 方程（2.1）有只与有关的积分因子的充分必要条件是此时，积分因子为。（3）分组组合法分组组合方法的原理：若方程（2.1）可进行下列分组组合 并且，寻找适当的可微函数和使得 ，则原方程的积分因子为。（4）待定指数法对于系数为多项式的对称形式的方程，常利用待定指数法求其积分因子。设方程具有积分因子为，其中为待定常数，根据积分因子的意义和恰当方程满足的充要条件，通过比较系数求出和即可。（5）换元法 （）若能确定适当的变换，使得方程（2.1）变换为易积分的方程，其中（）若能确定适当的变换，使得方程（2.1）变换为易积分的方程，其中（6） 综合分析法所谓综合分析法是指将以上各方法的优点有机地结合起来，在计算分析的过程中寻求适当的变换或积分因子，使方程（2.1）变为可积方程，从而达到求解的目的。步骤1 结合观察法、分组组合法将方程（2.1）化为 （1），并令。步骤2 求解方程 （2）若易得方程（2）的积分因子为，并求得其通解为，则方程（2）积分因子的通式可表示为，其中为的任意可微函数。步骤3 确定可微函数，使，则为方程（2.1）的积分因子。4 一阶隐方程 一阶隐方程的一般形式为。第一类 能解出(或)的方程1） （2.2） 这里假设函数有连续的偏导数。解法 引进参数 ，则原方程变为 ，两边关于求导，并把代入可得 ，整理得 （2.3）则（2.3）是关于的一阶显式方程。若已求出方程(2.3)的通解为：， 将其代入中得方程(2.2)的通解为：。若求得方程(2.3)的通解为 ，则原方程有以下参数形式的通解 。若求得方程(2.3)通解形式为，则原方程有以下参数形式隐式通解 。其中是参数,为任意常数。2） （2.4）解法 令，则原方程变为 两边对求导，得 ， ， （2.5） 则（2.5）是关于的一阶显式方程。若求得方程（2.5）的解为，则方程(2.4)的通解为。若求得方程(2.5)的通解为 ，则原方程有以下参数形式的通解 。若求得方程（2.5）的解为，则方程(2.4)的通解为。特别地，注意以下两个重要方程克莱罗（Clairaut）方程 形如的方程，称为克莱罗方程。克莱罗方程解法令，对原方程两端关于求导，得 ，即，由可得，通解；由，得奇解为：。注意：克莱罗方程的通解可以视为将方程中换成任意常数而得到，它表示一族直线，奇解是一曲线，而此曲线恰为这族直线的包罗线。拉格朗日-达朗贝尔（Lagrange-DAlembert）方程形如的方程，称为拉格朗日-达朗贝尔方程。拉格朗日-达朗贝尔方程的解法当时，此时方程为克莱罗方程。当时，令，对原方程两端关于求导，得 ，整理得，这是关于的线性方程，解之得 原方程的参数形式的解为：，同时还必须考查由于的限制是否会漏掉某些解。第二类 不显含( 或的方程 )1） 解法 引入适当的变换，代入方程从中得到，(或引入变换，代入方程从中得到)，有，积分可得 ，则方程的参数形式通解为 。特殊情形 令，代入方程从中求得，积分可得通解为 。2） 解法 引入变换，代入方程从中得到 ，(或引入变换 ，代入方程从中得到 ) ，有，积分得 ，则方程的参数形式通解为，若有实根，则也是方程的解。特殊情形 令，则求得，通解为，若有实根，则也是方程的解。注意：若隐式方程能将解出，或解出形式较简单，可化为显式方程求解。