课后跟踪训练(六十三)1(2019河南阶段性测试)已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是1，且1，a,4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围解(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，直线MN为y轴，此时m0.当k0时，直线MN的方程为y，化简得kyx0.令y0，得m.所以m.综上所述，m的取值范围为.2(2019浙江重点中学联考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，以椭圆的两个焦点与一个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.(1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x1所得的弦的长度为，求直线l的方程解(1)由椭圆的离心率为，得ca，由a2b2c2得ba.又三角形的面积S2cba22，所以a，b，所以椭圆的方程为1.(2)设直线l：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)联立得(13k2)x212k2x12k260.则x1x2，x1x2.所以x0，|AB|x1x2|.又点M到直线x1的距离d|x01|，且以线段AB为直径的圆截直线x1所得的弦的长度为，所以由圆的垂径定理得2d22，即22，解得k1，所以直线l的方程为yx2或yx2.3(2019全国卷)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.4(2019四川资阳模拟)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)，B(2,0)，C三点(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：yk(x1)(k0)与椭圆E交于M，N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x4上解(1)设椭圆E的方程为mx2ny21(m0，n0)，将A(2,0)，B(2,0)，C代入椭圆E的方程，得解得椭圆E的方程为1.(2)证明：将直线l：yk(x1)代入椭圆方程1并整理，得(34k2)x28k2x4(k23)0.设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.消去k2，得2x1x25(x1x2)8.直线AM的方程为y(x2)，即y(x2)直线BN的方程为y(x2)，即y(x2)由直线AM与直线BN的方程消去y，得x4.直线AM与直线BN的交点在直线x4上