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2020年高三期末考试数学试题(理科)考生注意:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容:高考全部内容第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1( )ABCD2设集合,则( )ABCD3“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”最先出自易经,太极是可以无限二分的,“分阴分阳,迭用柔刚”,经过三次二分形成八卦,六次二分形成六十四卦设经过n次二分形成卦,则( )A120B122C124D1284的展开式中的第三项为( )ABCD5已知向量,满足,且,则( )AB2CD6若双曲线的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率,则C的离心率为( )ABCD7已知一个扇形的圆心角为,弧长为,半径为2若,则( )AB7CD8在正方体中,E,F分别是棱,BC的中点,现有下列四个结论:A,E,F,四点共面;平面平面;平面;与平面ABCD所成角为其中正确的结论的个数是( )A1B2C3D49设x,y满足约束条件,且的最大值为1,则的最小值为( )A64B81C100D12110已知点在抛物线上,若数列是首项为,公比为2的等比数列,点F是C的焦点,则( )A521B1033C524D103511设函数,的零点分别为a,b,c,则( )ABCD12已知奇函数的定义域为,且对任意,恒成立,则不等式组的解集是( )ABCD第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置13假设某地5月每天出现下雨天气的概率为,且5月1日至5月6日这6天出现下雨天气的天数X的数学期望为1.2,则_14若公差为2的等差数列的前两项和为0,则该数列的前n项和_15已知是周期为4的奇函数,当时,当时,若直线与的图象在内的交点个数为m,直线与的图象在内的交点个数为n,且,则a的取值范围是_16在正方体中,E,F分别为棱AB,的中点,则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为_,四面体BCEF外接球的表面积为_(本题第一空2分,第二空3分)三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题;共60分17(12分)a,b,c分别为内角A,B,C的对边已知,且(1)若,求的面积;(2)若,证明:为直角三角形18(12分)某企业投资两个新型项目,投资新型项目A的投资额m(单位:十万元)与纯利润n(单位:万元)的关系式为,投资新型项目B的投资额x(单位:十万元)与纯利润y(单位:万元)的散点图如图所示(1)求y关于x的线性回归方程;(2)根据(1)中的回归方程,若A,B两个项目都投资60万元,试预测哪个项目的收益更好附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,19(12分)如图,在中,沿DE将点A折至处,使得,点M为的中点(1)证明:平面CMD;(2)求二面角的余弦值20(12分)已知椭圆的离心率为,且焦距为8(1)求C的方程;(2)设直线l的倾斜角为,且与C交于A,B两点,点O为坐标原点,求面积的最大值21(12分)已知函数(1)设曲线在点处的切线为l,求l的斜率的最小值;(2)若对恒成立,求a的取值范围(二)选考题:共10分请考生从第22,23两题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数,),且曲线C经过坐标原点O以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(1)求C的极坐标方程;(2)设P是曲线C上一动点,与极轴交于点A,求的取值范围23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的最小值为4,且,证明:2020年高三期末考试数学试题参考答案(理科)1D2D因为,所以3A依题意可得是首项为2,公比为2的等比数列,则4B的展开式中的第三项5B因为,所以,则,所以,故6CC的标准方程为,依题意可得,解得,则7A因为,所以,又,所以8B如图,因为AF与异面,所以A,E,F,四点不共面,故错误易证平面,因为平面ACE,所以平面平面,故正确因为平面平面,且平面,所以平面,故正确因为与平面ABCD所成角为,且,故错误9D作出约束条件表示的可行域(图略),因为,所以当直线经过点时,取得最大值,则,所以,当且仅当时,等号成立,故的最小值为12110B易知F的坐标为,则依题意可知,则,所以11A设函数,则a是与图象交点的横坐标,b是与图象交点的横坐标,c是与图象交点的横坐标在同一坐标系中,作出,的图象,如图所示由图可知12C设,则,则在上单调递增因为是定义域为的奇函数,所以,则不等式组等价于,即,则,解得130.2依题意可得,则,解得14因为,所以,则15依题意可作出在上的图象,如图所示因为,所以由图可知,解得16;因为平面CEF与平面的交线为,所以截面为四边形,而四边形为等腰梯形,且,故其面积为设线段CE的中点为G,四面体BCEF外接球的球心为O,则平面BCE设球O的半径为R,则因为,所以,从而,故球O的表面积为17(1)解:因为,所以,因为,所以,又,则因为,所以,故的面积(2)证明:因为,所以,解得(负根舍去)所以,则C为直角,故为直角三角形18解:(1),则,故y关于x的线性回归方程为(2)若A项目投资60万元,则该企业所得纯利润的估计值为万元;若B项目投资60万元,则该企业所得纯利润的估计值为万元因为,所以可预测B项目的收益更好19(1)证明:由,且,可得平面,因此由,得,因此,由勾股定理可得又因为点M为的中点,所以而,故平面CMD(2)解:因为,所以平面,又,所以平面如图,以C为原点建立空间直角坐标系,则,易知是平面CMB的一个法向量设平面CME的法向量为,则,即,令,得,易知二面角为锐角,故二面角的余弦值为20解:(1)依题意可知,解得,故C的方程为(2)依题意可设直线l的方程为,联立,整理得,则,解得设,则,原点到直线的距离,则的面积,当且仅当,即时,的面积有最大值,且最大值为21解:(1),则,设,则,当时,;当时,所以,即l的斜率的最小值为(2)由题知,在上恒成立,令,则,因为,所以设,易知在上单调递增因为,所以存在,使得,即当时,在上单调递减;当时,在上单调递增所以,从而,故a的取值范围为22解:(1)由,得,即,因为曲线C经过坐标原点O,所以,又,所以故C的极坐标方程为,即(或)(2)因为l的极坐标方程为,即,所以l的直角坐标方程为令,得,则A的直角坐标为,由(1)知,曲线C表示圆心为,半径为4的圆且,故的取值范围为23(1)解:当时,由,得当时,则;当时,则;当时,则故不等式的解集为(2)证明:因为,且,所以的最小值为因为函数为增函数,且,所以从而,因为,所以由柯西不等式得,即,所以(当且仅当,时等号成立)
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