科目：数学 年级：高一 教师： 本周学习进度本周我们将学习3.4等比数列、3.5等比数列的前n项和.3.4小节介绍了等比数列的概念、通项公式、等比中项以及等比数列的判定方法.3.5小节通过具体例子说明怎样推导等比数列的前n项和公式，并补充了等比数列的性质，总结了等比数列的解题方法，其中重点是等比数列的概念、通项公式以及前n项和公式，难点是等比数列的性质以及实际应用问题.通过本周的学习，大家应掌握有关等比数列的概念、性质、公式，并能解决分期付款、零存整取以及其它与等比数列有关的应用问题。更重要的是从中培养自己分析问题，解决问题的能力. 重点知识分析和讲解1等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.注：用递推关系表示等比数列就是，这一公式是判断一个数列是否为等比数列的标准.当|q|1，等比数列各项的绝对值递增；|q|1，等比数列各项的绝对值递减；|q|=1，数列是常数列，因此，任意一个非零的常数列是公比为1的等比数列.2基本公式 （1）通项公式：an=a1qn-1注：由，知等比数列的通项公式是一个不为0的常数与指数式的积（当q=1时，看作是退化的指数式） （2）前n项和公式：，Sn=na1.注：由等比数列的前n项和公式可得：,根据前n项公式的这个特点，可由一个数列Sn的表达式，判断这个数列是否为等比数列.3等比中项：若三个数a,G,b成等比数列，那么G叫做a,b的等比中项，且G2=ab（或注：一个等比数列从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项. 典型应用 例1 设数列an的前n项和为Sn，若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n2且nN），试问an是等比数列吗？分析 一个数列是否为等比数列可通过来判断，其中q为非零常数，因此，应设法由关于Sn的递推公式中导出关于an的递推公式，然后对照该式进行判断.解 由Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n2,nN),得: Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1) an+1=2an a2,a3,an,构成等比数列 说明 判断一个数列是否为等比数列，其方法总结如下：解答本题时应注意引起的，所以判断此数列是否为等比数列，必须验证是否也等于2.例2 一等比数列的第1项为1，第9项为6561，求第5项解 a5可以看作是a1与a9的等比中项，则a52=a1a9=6561 a5=81（只取正号）说明 一个等比数列的各项只能有这样四种情况：要么每一项都是正数，要么每一项都是负数，要么正负相间，等比数列的结构可形象地表示为+，-，+-+-，-+-+因此等比数列的奇数项符号是一致的，与首项符号相同，而偶数项却可能取正负两个值.例3 等比数列an的前n项的和与积分别为S和T，数列证明 由题意，设an是公比为q的等比数列，则 说明 在应用等比数列求和公式时，若不能确定公比q的取值，一般应按q的取值是否为1分类讨论.例4 在等比数列an中，已知a3=2,a7=6,求q、a15和a20 .说明 解2中应用了等比数列的性质：在等比数列中，an=akqn-k,则，nknk 例5 在等比数列an中，a2+a5=18,a3a4=15,求an分析 由已知很容易想到要先求a1,q，再由通项公式求an，那么，还有没有更为简便的解法呢？ 说明 在等比数列an中，若m+n=s+t, m,n,s,tN*，则aman=asat例6 公比为2的等比数列中，若S2k=510,S3k=8190，求Sk及k之值.分析 在等比数列中，依次每k项之和仍为等比数列，公比为qk.例7 七个实数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积之差为42，又首尾两项与中间项的和为27，求中间项.分析 这是等差数列与等比数列的综合应用题，解决问题的关键是巧妙地设出数列中各数.说明 当知三数成等差数列且知三数之和时，将这三数设为a-d,a,a+d；当已知四数成等差数列且知四数之和时，将这四数设为a-3d,a-d,a+d,a+3d；当已知三数成等比数列且知三数之积时，可将这三数设为，a,aq，当已知四数成等比数列且知四数之积时，可将这四数设为.例8已知 （1）设、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列. （2）设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1.求证：，b，c成等差数列.说明：根据定义或中项公式判定一个数列是等差或等比数列是数列的基本问题之一，在熟练掌握等差、等比数列的概念基础上，具备一定的分析，推理、判断的能力是解决这类问题的根本. 例9若某人每年的年初到银行存款1万元，年利率4分，每年以复利计息，试问存足10年后本利和是多少？这里(1.04)10 1.4802，算出的结果不满千元者四舍五入. 解：该人到10年后共零存10次，这10次存款的本利和依次为：(1+0.04)10,(1+0.04)9,(1+0.04)1.这是一个等比数列，如将它逆序排列，则是一个首项为(1+0.04)1，公比为(1+0.04)，项数为10的等比数列，其前10项和即为所求，即 答：该人存足10年后本利和是12.5万元. 例10某企业为筹划资金A元，以年利率r每年度按复利计息借款，在当年年初借入，前m年内不动，从第m+1年度开始每年末以一定的金额元偿还，要在后续的n年间将借款的本利和全部偿还付清，则求应当是多少.分析：这里是两个问题，第一个问题是借款问题，从借款开始到最后还清，共需m+n个年份，则本利和是：A(1+r)m+n（元），第二个问题是还款问题，前m年内没有偿还，从m+1年开始每年以确定的金额元偿还，仍按年利率r复利计息，实际是零存整取的思考规律，同例6. 解：从第m+1年末开始偿还，直到款全部还清之时各次还款本利和分别是 (1+r)n-1，(1+r)n-2，(1+r)， 由A(1+r)m+n=+(1+r)+(1+r)n-1 即A(1+r)m+n= 得 答：要还清全部借款，应当是. 练习题A组 一选择题 1若，b，c成等比数列，其中0b0，24+235+46=25，那么35的值为（ ） （A）5. （B）10. （C）15. （D）20. 5已知等比数列的公比等于（ ） （A） （B）-3 （C） （D）3 二填空题 6数列满足1=,n+1=bn+c (nN*)，当,b,c满足条件_时，是等差数列；当,b,c满足条件_时，是等比数列. 7若不等于1的三个正数,b,c成等比数列，则：=_ 8在等比数列中，1+2+3=60，4+5+6=30，则S9=_ 三解答题9有一公比是2的等比数列，项数是10，如果各项取以2为底的对数它们的和是25，求等比数列的和.10一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.B组 一选择题 1数列中，1,2,3成等差数列，2,3,4成等比数列，3,4,5的倒数成等差数列，那1,3,5成（ ） （A）等比数列 （B）等差数列 （C）倒数成等差数列 （D）倒数成等比数列. 2等比数列中，已知9-2，则此数列前17项之积等于（ ） （A）216 （B）-216 （C）217 （D）-217 3已知数列前n项的和Sn=2n-1，则此数列奇数项的前n项的和是（ ） （A）(2n+1-1) （B）(2n+1-2) （C）(22n-1) （D）(22n-2) 4已知公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，则这个等比数列的公比等于（ ） （A） （B）- （C） （D）3 5某工厂在1997年底制定计划要使2030年的总产值在1997年的总产值基础上翻三番，则年总产值的平均增长率为（ ） （A） （B） （C） （D） 二填空题 6已知等比数列公比为q，n为奇数，且，那么_. 7设由正数组成的等比数列，q=2,12330=230，则36930=_ 三解答题 8数列的各项均为正数，前n项和为An，数列的前n项和为Bn，且满足Bn=-n(n-1) bn=log2n (nN*)，求An9某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营每年资金增长率均为50，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除消费基金x应是多少万元（精确到万元）？10小芳同学将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为6，问三年后取出本利共多少元（保留到个位）？ 练习题答案及提示A组 一选择题 1. C 2. D 3. B 4. A 5.B 二填空题 6b=1或b-+c=0；=b+c0或c=0且,b0 72 8105 三解答题 9设首项为1，则数列为：1，21，221，291. log21+log221+log2221+log2291=25. 即log21+(1+log21)+(2+log21)+(9+log21)=25 10设项数为2n (nN*)，1=1，由已知可得q1. ,得：q=2，n=4. 即项数为8. 公比为2.B组 一选择题 1. A 2.D 3.C 4.D 5.D 二填空题 6mqn