2013考前试卷解析结束 开始 b1 a3a1 bb+1 N Y 输入a a 58 输出b 1在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 【答】2或2按如图所示的程序框图运算，若输出的b = 3，则输入的a的取值范围是_【答】（6，19【说明】（1）输入a，b = 1；（2）a变为3a + 1，b = 2，且3a + 158；（3）a变为3 (3a + 1) + 1 = 9a + 4，b = 3，且9a + 458由（2），（3）解得6a193一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，AEF = 90，AE = a，EF = b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 【答】 【说明】设AB = x，由，得，则由，得则此正四棱柱的体积为4已知真命题：“函数yf(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形”的充要条件为“函数yf(xa)b 是奇函数”. 利用题设中的真命题，可求得函数h(x)log2 图像对称中心的坐标是 .【答】【说明】设的对称中心为，由题设知函数是奇函数。设则，即。5由不等式的解集关于原点对称，得。此时。任取，由，得，所以函数图像对称中心的坐标是。6计算 的值等于 【答】【说明】= () = () = () = 7在ABC中，已知BC = 4，AC = 3，(A - B) = ，则ABC的面积为 【答】【说明】在角A中作出A - B，即在BC上取一点D，使DB = DA，设DB = x，则DC = 4 - x在ACD中，CAD = (A - B) = ，得x = 2则DA = DC = DB，BAC = 90，AB = ABC的面积为8已知O是ABC的外心，AB = 2a，AC = ，BAC = 120，若 = xy，则xy的最小值是 【答】2【说明】解法1 以A为坐标原点，AC为x轴，建立直角坐标系，则C（，0），B（- a，a），用几何方法，可得O（，）由 = xy，得（，）=（-ax，ax）+（y，0），则当a = 1时，xy取得最小值为2解法2 因为 = | cos120 = 2a() = - 2，设AB的中点为D，则ODAB，又 = () = = = 2 = 2a2，同理， = 2 = 即解得所以，xy = = (a2) = 2当且仅当a = 1上式等号成立，此时ABC是等腰三角形【反思】方法较多，可算可看可猜考生注意方法的灵活性、转化的多样性，是致胜的关键9在ABC中，则角A的最大值为_【答】【说明】，设AB = c，AC = b，则c2 - 4bc + 3b2 = 00，得16-120， 0，角A的最大值为10已知O是锐角ABC的外心，AB = 6，AC = 10，若 = xy，且2x10y = 5，则cosBAC的值为 【答】【说明】 解法1 因为外心是三角形三条垂直平分线的交点，取AC中点为D，则ODAC，因为 = ，所以 = = = 50，又因为向量 = xy，所以 = xy2，即60 xcosBAC100y = 50，也就是6 xcosBAC10y = 5，又已知2x10y = 5，所以cosBAC = 解法2 设A(0，0)，C(10，0)，BAC = ，则点B(6cos，6sin) ，又O点横坐标为5， = xy，所以5 = 6xcos10y = 2x10y，所以cos = ；即cosBAC = 结束 开始 b1 a3a1 bb+1 N Y 输入a a 58 输出b a变为3a + 1，b = 2，且3a + 158；（3）a变为3 (3a + 1) + 1 = 9a + 4，b = 3，且9a + 458由（2），（3）解得6a19 11已知O是锐角ABC的外心，AB = 6，AC = 10，若 = xy，且2x10y = 5，则cosBAC的值为 【答】【说明】 解法1 因为外心是三角形三条垂直平分线的交点，取AC中点为D，则ODAC，因为 = ，所以 = = = 50，又因为向量 = xy，所以 = xy2，即60 xcosBAC100y = 50，也就是6 xcosBAC10y = 5，又已知2x10y = 5，所以cosBAC = 解法2 设A(0，0)，C(10，0)，BAC = ，则点B(6cos，6sin) ，又O点横坐标为5， = xy，所以5 = 6xcos10y = 2x10y，所以cos = ；即cosBAC = 12设数列的首项，前n项和为Sn , 且满足( nN*) 则满足的所有n的和为 【答】7【说明】由，得，即，以为公比，为首项，求得，从而，所有n的和为713 数列an定义如下：a1 = 1，a2 = 2，an+2 = an+1 - an，n = 1，2，若n k（）时，an+1 - an 0.01恒成立，则k的最小值为 【答】13【说明】数列nan是等差数列，nan = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2，an = 3 -an+1 - an 0.01，即 0.01，n( n + 1) 2001314 = 182，1415 = 210，k的最小值为1314 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 AO【答】【说明】由题意， AF2 = BF2，即，在中，则，离心率15椭圆 = 1(ab0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是 【答】2【说明】由 = 1解得b2 = ，椭圆的中心到准线距离为 = = = = = 216已知函数 ，若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答】【说明】，令，则原题等价为：对于，恒成立，求实数k的取值范围（1）当时，显然成立；（2）当时，由，得；（3）当时，由，得综上，实数k的取值范围为17已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x0，都有，若则= _【答】【说明】必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾所以可设则将c代入，得，即是单调增函数，当c = 时，成立，则二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O到AB的距离为10km，设（1）试求AB关于角的函数关系式；（2）问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处，才能使AB最短，并求其最短距离解：（1）如图，作OM垂直AB，垂足为M，则OM = 10，由题意， 在中，由正弦定理得，即在中， 所以 （2） 因为，所以当时有AB的最小值 此时， 答：A、B都设在公路上离市中心km处，才能使AB最短，其最短距离是km19已知椭圆：1(ab0)的离心率e，四个顶点围成的四边形的面积为4设P(x0,y0)为平面xOy内一定点(不在坐标轴上)，过点P的两条直线分别与椭圆交于A、C和B、D(1)求椭圆的方程；(2)若ABCD，证明：直线AB的斜率为定值；(3)若ABCD，P在椭圆内，过点P作AB的平行线，与椭圆交于E、F两点，证明：点P平分线段EF.解 (1)因为 e，所以，又由于椭圆四个顶点围成的四边形的面积为4，所以2a2b4，即ab2，解得a2，b1，所以椭圆的方程为1 (2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)， C(x3, y3)， D(x4, y4)，t，t0，t1，则x3(1t)x0tx1，y3(1t)y0ty1，因为点C在椭圆上，所以(1t)x0tx124(1t)y0ty124，整理得(1t)2(x024y02)t(1t)(x0x14y0y1)t2(x124y12)4，又点A在椭圆上，所以(x124y12)4，所以(1t)2(x024y02)t(1t)(x0x14y0y1)t24， 因为ABCD，所以t，同理可得(1t)2(x024y02)t(1t (x0x24y0y2)t24， 得x0(x2x1)4y0(y2y1)0， 因为P(x0,y0)不在坐标轴上，所以x00，y00，易知AB不平行于坐标轴，由得直线AB的斜率为k为定值(3)若ABCD，P在椭圆内，直线EF的方程是y(xx0)y0，代入椭圆方程1得x24(xx0)y0240，整理得(x024y02)x22x0(x024y02)x(x024y02)216y020，所以xExF2x0，从而点P是线段EF的中点，即点P平分线段EF.20数列an满足：a1 = 5，an+1an = ，数列bn的前n项和为Sn满足：Sn = 2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项解 (1)令n = 1得a25 = ，解得a2 = 12，由已知得(an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以an+2an0，于是an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2，所以an+1an是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1an = 72(n1) = 2n5，所以an = (anan-1)(a