2021年六安市省示范高中高三教学质量检测理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C3. 若平面向量与的夹角为，则（ ）A. B. C. 18D. 12【答案】B4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. “垛积术”是我国古代数学重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）.若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（ ）A. 45B. 36C. 28D. 21【答案】D7. 已知x，y都是实数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B8. 六安市新建的广播电视发射塔计划于2021年3月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图1），它的最小口径为2r米，在最小口径上方h米处的口径为4r米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线（如图2），则其渐近线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B9. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下面叙述正确的是（ ）A. 的周期为B. 图象的一条对称轴是C. 图象的一个对称中心为D. 在上单调递减【答案】D10. 已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B11. 在棱长为1正方体中，E为棱CD上的动点（不含端点），过B，E，的截面与棱交于F，若截面在平面和平面上正投影的周长分别为，则（ ）A. 有最小值B. 有最大值C. 是定值D. 是定值【答案】A12. 已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若实数x，y满足，则的最大值为_【答案】14. 已知，为偶函数，若曲线在点处的切线方程为，则_【答案】315. 已知抛物线，F为焦点，直线与C交于A点，B为直线l上另一点（在A点上方），则角平分线所在直线方程为_.【答案】16. 已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，平面平面ABC.，M为棱PC上一点，且，过M作三棱锥外接球的截面，则截面面积最小值为_.【答案】三、解答题：本题共6小题，共70分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. 已知数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前n项和.【答案】（1）；（2）.18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若 ，求的面积.【答案】（1）；（2）.19. 如图，在平面四边形中，现把沿折起，使在平面上的射影为，连接、，且.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.20. 已知函数，（1）若，的极大值是，求a的值；（2）若，在上存在唯一零点，求b的值【答案】（1）；（2）21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过点且斜率存在的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线PM与PN的斜率之和为，证明：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析22. 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点， .（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：.【答案】（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析.