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1.2.3.4.5.6. 有四批零件,第一批有2000个零件,其中5%是次品。第二批有500个零件,其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。(1) 问所选零件为次品的概率是多少?(2) 发现次品后,它来自第二批的概率是多少?解:(1)用表示第批的所有零件组成的事件,用表示所有次品零件组成的事件。(2)发现次品后,它来自第二批的概率为,7.8.9. 设随机试验的分布律为123求的概率密度和分布函数,并给出图形。解:10.11. 设随机变量的概率密度函数为,求:(1)系数;(2)其分布函数。解:(1)由所以(2)所以的分布函数为12.13.14. 若随机变量与的联合分布律为 YX-10100.070.180.1510.080.320.20求:(1)与的联合分布函数与密度函数;(2)与的边缘分布律;(3)的分布律;(4)与的相关系数。(北P181,T3)解:(1)(2)的分布律为的分布律为(3)的分布律为(4)因为则与的相关系数,可见它们无关。15.16. 设随机变量,且相互独立,。(1) 随机变量的联合概率密度;(2) 随机变量与是否相互独立?解:(1)随机变量的联合概率密度为由反函数 , (2)由于, 所以随机变量与相互独立。17.18.19.20.21. 已知对随机变量与,有,又设,试求,和。解:首先,。又因为。于是,22.23.24. 已知随机变量服从上的均匀分布。随机变量服从上的均匀分布,试求(1) ;(2)解:(1)对有,(2)25. 设太空梭飞行中,宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p,彼此独立。求:造成损坏的粒子平均数目。(北P101,T10)解:每个粒子是否造成损坏用表示造成损坏的粒子数,于是可合理地认为和是独立的,于是26.27. 随机变量彼此独立;且特征函数分别为,求下列随机变量的特征函数:(1); (2); (3); (4); 解:(1)(2)同(1),(3) (4)28. 随机变量X具有下列特征函数,求其概率密度函数、均值、均方值与方差。(1); (2); (3); (4); 解:(1)(2)(3)利用傅里叶变换公式,可知这是指数分布,。(4),利用傅里叶变换公式,可知这是均匀分布,, ,。29. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。解:由于是宽度为,高度为,中心在处的矩形函数。其傅立叶变换为30.31.32. 设有高斯随机变量,试利用随机变量的矩发生特性证明: (1)(2)(3)解:特征函数为,由矩发生性质,
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