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最新精品资料2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24,求双曲线的方程.解析:若以线段F1F2所在的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a=24,2c=26,a=12,c=13,b2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x轴上,双曲线的方程为=1.若以线段F1、F2所在直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立直角坐标系,则双曲线的方程为=1.温馨提示求轨迹方程时,如果没有直角坐标系,应先建立适当的直角坐标系,求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值,同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴,不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小,而是看x2、y2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点A(1,),且a=4;(2)经过点A(2,)、B(3,-2).解析:(1)若所求双曲线方程为(a0,b0),则将a=4代入,得=1,又点A(1,)在双曲线上,=1,解得b20,不合题意,舍去.若所求双曲线方程为=1(a0,b0),同上,解得b2=9,双曲线的方程为=1.(2)设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0),点A(2,)、B(3,-2)在双曲线上,所求双曲线的方程为=1.温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定,解决方法有两种:一是对两种情形进行讨论,有意义的保留,无意义的舍去;二是设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0),解出的结果如果是m0,n0,那么焦点在x轴上,如果m0,n0,那么焦点在y轴,在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时,可以用双曲线的定义,直接求出a.应加强练习,注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.解析:(1)当k=0时,y=2,表示两条与x轴平行的直线.(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆.(3)当k0时,方程为=1,表示焦点在y轴上的双曲线.(4)当0k1时,方程为=1,表示焦点在x轴上的椭圆.(5)当k1时,方程为=1,表示焦点在y轴上的椭圆.温馨提示本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k讨论时首先要找好讨论的分界点,除了区别曲线类型外,同一类曲线还要区别焦点在x轴和y轴的情况.各个击破类题演练1已知点F1(-,0)、F2(,0),动点P满足|PF2|-|PF1|=2,当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D.2解析:由题意知,P点的轨迹是双曲线的左支,c=,a=1,b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.把y=代入双曲线方程,得x2=1+=,|OP|2=x2+y2=|OP|=答案:A变式提升1在MNG中,已知NG=4.当动点M满足条件sinG-sinN=sinM时,求动点M的轨迹方程.解析:如右图所示,以NG所在的直线为x轴,以线段NG的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.sinG-sinN=sinM由正弦定理,得|MN|-|MG|=4由双曲线的定义知,点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)2c=4,2a=2,c=2,a=1,b2=c2-a2=3.动点M的轨迹方程为x2-=1(x0,且y0)类题演练2双曲线=1(a0,b0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20,求该双曲线的方程.解:将x=6代入双曲线方程,得=1.则y=,设一个交点P的坐标为(6,),则由题意,得解之得a=5,b2=故所求的双曲线方程为变式提升2在面积为1的PMN中,tanPMN=,tanMNP=2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程.解:以MN所在直线为x轴,MN的中垂线为y轴建立直角坐标系,设P(x0,y0)、M(-c,0)、N(c,0)(y00,c0),如图.则解得将点P()代入,可得a2=.所求双曲线方程为=1(y0).类题演练3已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P适合|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,P点的轨迹为()A.双曲线和一直线B.双曲线和一射线C.双曲线一支和一直线D.双曲线一支和一射线解析:当a=3时,2a=6|F1F2|=10,点P的轨迹是双曲线的右支.当a=5时,2a=10=|F1F2|,点P的轨迹是以F2为端点的一条射线.故选D.答案:D变式提升3如果表示焦点在y轴上的双曲线,那么它的半焦距C的取值范围是()A.(1,+)B.(0,2)C.(2,+)D.(1,2)解析:由题意得解得k2,则c=答案:A最新精品资料
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