锐角的三角比知识讲解【学习目标】1 结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2 .会推算30 、45 、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值;3 理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在 RtAABC中，/ C= 90,/ A所对的边BC记为a,叫做/ A的对边，也叫做/边，/ B所对的边AC记为b，叫做/ B的对边，也是/A的邻边,B的邻直角 C锐角锐角锐角锐角所对的边AB记为c,叫做斜边.A的对边与斜边的比叫做/A的邻边与斜边的比叫做/A的对边与邻边的比叫做/A的邻边与对边的比叫做/同理sin BB的对边斜边cot BB的邻边B的对边A的正弦，记作A的余弦，记作A的正切，记作A的余切，记作cosBsinA,cosA,tanA,cotA,即 sin AA的对边即 cos A即 tan A即 cot AB的邻边 a ； tanB斜边 c ； B斜边cA勺邻边b .斜边;cA的对边a .A勺邻边;bA的邻边bA的对边aB的对边bB的邻边a要点诠释:(1) 正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2) sinA ， cosA ， tanA ， cotA 分别是 一个完整的 数学符 号，是一个整 体，不 能写成,cot? A不能理解成sin与/ A, cos与/ A, tan与/ A, cot与/ A的乘积书写时习惯上省略/A的角的记号“/”，但对三个大写字母表示成的角(如/AEF)， 其正切应写成 “ tan / AEF ”,不能写成 “ tanAEF ”；另外，cot A)2常 写 成2cot2 A (3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4) 由锐角三角函数的定义知：当角度在0 0 cotA 0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30、45、60角的各三角函数值，归纳如下:锐角cot130 145 11r *60 要点诠释:(1)通过该表可以方便地知道30、45、60。角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数例如：若锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现：次为的值的次增大，其变化规律可以总结为： 正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦、余切值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在 RtAABC中，/ C=90.（1） 互 余 关 系-Z B)=cotA.tanA=cot(90 -Z A)=cotB , tanB=cot(90(2)平方关系:倒数关系(4)商的关系：丄 “ sin A cosA tanA,cot A -cos Asi nA要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便.【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略BC= 5，求/ A, / B的正弦、余弦、正切、1.如图所示，在 RtAABC 中，/ C= 90, AB= 13, 余切值.【答案与解析】在 RtAABC中，/ C= 90AB= 13, BC= 5.ACAB2BC2.1325212 .sin ABC5cosAAC12tan ABC5cot AAC12AB13，AB13，AC12，BC5 ；AC12BC5AC12BC5sin BcosBtanBcotBAB13AB13BC5AC12【总结升华】 先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值.举一反三:【变式】在RtAABC中，ZC = 90 若a=3, b=4,则c =si nA =, cosA =,sinB =cosB =3【答案】c = 5 , sinA =, cosA =44,sinB = , cosB =-3 5555类型二、特殊角的三角函数值的计算2 .求下列各式的值:(1)sin30 -2cos60 +cot45 ;(2) tan3Qo ? sin 30 o ；(3)(1, 3)0 |1 sin30cot 45 ? tan 60【答案与解析】1小1 1(1)原式21 -22 21(2)原式32 1 .1.36(3)原式【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值,再进行化简.举一反三:【变式】在 RtAABC 中，ZC = 90 若/ A=45,贝U ZB =,si nA =, cosA =, sinB =, cosB =【答案】ZB =45,si nA =,2COZ 于，sinB=于，COsB =于类型三、锐角三角函数之间的关系求锐角(2) 已 知答案与解析】(1) 先将已知方程变形后再求解锐角(2)先将已知方程因式分解变形=30总结升华】锐角=45.要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解 (值)，然后再求这个锐角.类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用C4.如图所示，AB是O O的直径，且 AB= 10, CD是O O的弦，AD与BC相交于点P,若弦CD= 6,试求cos/ APC的值.【答案与解析】连结AC,/ AB是O O的直径,/ ACP= 90 ,又 / B=/ D,/ PAB=/ PCD, PCMA PAB,PC CDPA AB .又 CD= 6, AB= 10,在 RtA PAC中，PC CD 63cos APCPA AB 105【总结升华】 直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似 三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值.锐角的三角函数是针对直角三角形而PC言的，故可连结 AC,由AB是O O的直径得/ ACB= 90, cos APC, PC PA均为未知，而已PAPC CD知CD= 6, AB= 10,可考虑利用 PCA PAB得PA AB5通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1，在 ABC中，AB= AC,顶角A的正底边 bc对记作sadA,这时sadABC .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定腰 AB的.根据上述角的正对定义，解下列问题：(1) sad60=.(2) 对于Ov Av 180。，/ A的正对值sadA的取值范围是 .3(3) 如图1，已知sinA= -，其中/ A为锐角，试求sadA的值.【答案与解析】(1)1 ；(2)0 v sadAv2;(3)如图2所示，延长AC至U D,使AD= AB,连接 BD.BC设 AD= AB= 5a,由 sin A AB3得 BC= 3a,5AC ,(5a)2(3a)2 4a,CD= 5a-4a = a,BD, a2 (3a)210a,sadA= 1; (2)在图中设想 AB= AC的时，BC接近0，则sadA接近0但永远sadA BDAD【总结升华】 将60角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故长固定，并固定 AB让AC绕点A旋转，当/ A接近0不会等于0,故sadA0,当/A接近180时，BC接近2AB,贝U sadA接近2但小于2,故sadA