现代机械设计方法中的几个计算问题2010.11.11一.关于有限元的计算1.如图三1所示，一悬臂梁，自由端受合力为P的均布力作用，梁厚t=1，=1/3，求节点位移。 求解结构为平面应力问题，划分为2个三角形单元、，有四个节点1、2、3、4，坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，1）、（0，1）。单元、节点顺序分别取3、1、2和1、3、4，刚度矩阵完全一样。 对单元：bi=0，bj=1，bm=1，ci=2，cj=0，cm=2。 对单元：bi=0，bj=1，bm=1，ci=-2，cj=0，cm=2。 单元的刚度矩阵为利用大域变换法求出整体刚度矩阵为节点荷载向量为P=0 0 0 P/2 0 P/2 0 0 0T 位移向量为=u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T 由结构平衡方程求得节点位移为2.有限元分析的一般步骤结构离散化 结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限单元法分析的第一步，关系到计算精度与计算效率，是有限单元法的基础步骤，包含以下三个方面的内容： (1) 单元类型选择。离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元节点数与节点自由度数等三个方面的内容。 (2) 单元划分。划分单元时应注意以下几点：网格划分越细，节点越多，计算结果越精确。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显，对应力应变变化平缓的区域不必要细分网格。单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体，如三角形单元三边应尽量接近，且不出现钝角；矩阵单元长宽不宜相差过大等。单元节点应与相邻单元节点相连接，不能置于相邻单元边界上。同一单元由同一种材料构成。网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。 (3) 节点编码 单元分析 通过对单元的力学分析建立单元刚度矩阵Ke。 整体分析 整体分析包括以下几方面内容： 集成整体节点载荷向量P。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，所以有限单元法在结构分析中只采用节点载荷，所有作用在单元上的集中力、体积力与表面力都必须静力等效地移置到节点上去，形成等效节点载荷。最后，将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷向量。 集成整体刚度矩阵K，得到总体平衡方程：K=P 引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。3.简述有限元分析中注意的几个问题。 收敛性问题 1）位移场应包含刚体运动模式和常应变模式，该条件也称为完整性条件。2）位移场在单元边界上是连续的，也称为为相容性条件有限元网格划分：1）划分的网格分布是否满足求解问题的精确度。2）考虑计算条件，包括可利用的存储空间及计算速度。3）有限元软件包提供的功能是否满足要求，如单元的类型、性能等。4）计算成本。 二.关于优化设计的设计计算1. 圆柱形螺旋压缩弹簧的优化设计问题 设计一圆柱形螺旋压缩弹簧，要求其质量最轻。弹簧材料为 65Mn，最大工作载荷FMAX =40N，最小工作载荷为0，载荷变化频率f = 25Hz，弹簧寿命为104h， 弹簧钢丝直径的取值范围为1-4mm，中径D2的取值范围为10-30mm，工作圈数不应小于4.5圈，弹簧旋绕比不应小于4，弹簧一端固定、一端自由，工作温度为50，弹簧变形量不小于10mm。 解：在弹簧的优化设计中，为减小计算规模，多数情况下取弹簧钢丝直径d、中径D2及工作圈数n为设计变量。1）疲劳强度条件2）刚度条件3）不发生失稳条件4）不产生共振条件5）旋绕比条件6）设计变量取值条件： 这个问题是一个三维约束优化问题，有11个不等约束，目标函数 和所有的约束条件是设计变量的非线性函数。因此，它属于非线 性约束优化问题，这样的问题不能用极值条件精确求解。2. 函数铰链四连杆机构的最优化设计连杆机构的优化设计的部骤：1） 明确设计要求，确定原始数据，拟订机构运动简图。2） 建立正确的数学模型（目标、变量、约束函数）。优化设计的数学模型.一般形式：寻找 X =x1 ,x2 , xn Rn 使 f（X）最小或最大 受约束于gu（X） 0 （u = 1，2，m） hv（X）=0 （v = 1，2，p n） 3） 选用合适的优化方法。如直接解法： 在这类方法中，直接在可行域中，通过一定的模式比较点的函数值和约束值大小，决定搜索方向。这类方法如网格法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。4） 拟订初始设计方案。5）上机解算。6）对设计结果作图分析，模拟分析。3.机械优化设计的一般步骤1、分析机械设计问题，建立优化设计数学模型；2、选择优化方法或合适的商业软件；3、编写计算机程序或学会使用软件；4、准备必要的初始数据并上机计算；5、对最优方案的评价与决策，如不合适，要修改数学模型。约束条件的规格化1