工科高数（2006年第二学期）华南农业大学期末考试试卷（A）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设，若，则_解答：2.设，则_解答：令，则，从而，即3.将三重积分化为球面坐标的累次积分为_解答：积分区域为以原点为球心，半径为R的上半球面与xOy面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为，所以化为累次积分4.微分方程的通解为_解答：特征方程为解得因此通解为5.幂级数的收敛半径_解答：，因此收敛半径二.选择题（每题3分，共15分）1.过点且垂直于平面的直线方程是（ ）A. B. C. D. 解答：直线的方向向量为，因此点向式方程为选A2.设D是区域，则（ ）A.0B. C. D. 解答：从被积函数角度考虑，将D看作X型区域选C3.微分方程是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设是区域的正向边界，则（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. B. C. D. 解答：选项A一般项不趋于0，因此不收敛；选项B一般项不趋于0，也不收敛；选项D绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数的敛散性解答：，因此该级数与等比同敛散性，而级数收敛，因此原级数收敛.2.设，求解答：两边微分得整理得因此3.计算二次积分解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。在极坐标系中，积分区域为，因此4.求二重积分的值，其中D是由直线围成的平面区域解答：积分区域表示为，因此注意积分中应用对称性5.求微分方程的通解解答：分离变量得两边积分得因此原方程的通解为6.试将函数展开成的幂级数，并求其收敛域解答：由于所以7.计算曲面积分，半球面的外侧解答1：的方程为，在zOx上的投影为，因此由于，因此原式令，则原式解答2：的方程为，在zOx上的投影为，因此由对称性，因此又，所以原式四.解答题（每题7分，共21分）1.设，其中为可微函数，证明证明：因此2.在所有对角线为的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长解答：设长方体的长宽高分别为，则长方体的体积构造拉格朗日函数于是代入得惟一驻点由题目条件知，当长方体的长宽高均为时取得最大体积.3.设函数连续可微，且，试求，使曲线积分与路径无关解答：由于积分与路径无关，因此即相应齐次方程为，其通解为设为非齐次方程的解，代入得积分得，即非齐次方程的通解为代入初始条件得因此6