第十四章 曲线积分、曲面积分与场论教学目的与要求1 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的定义及相互联系；2 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算；3掌握Green公式 公式和公式，并能应用它们来求第二类线面积分；4理解曲线积分与路径无关的含义；5了解外微分的定义及应用；6了解场论初步的基本知识。教学重点1两类曲线积分和两类曲面积分的计算；2 Green公式 公式和公式的应用；3曲线积分与路径无关的条件。教学难点1两类曲线积分互化和两类曲面积分互化；2 曲线积分与路径无关的条件。 1第一型曲线积分和第一类面面积分教学目的1掌握第一类曲线积分和第一类曲面积分的定义；2 会求曲面的面积。教学过程背景:几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段、平面区域、空间几何体的质量1 第一类曲线积分1.1 定义(P294-295)1.2 性质(P295)1.3 计算(P295-296) 例1 设是半圆周, . . 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分 . 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 .例3 计算积分, 其中是球面被平面截得的圆周 . 解 由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 )2 曲面的面积P298-3043 第一型曲面积分3.1 定义(P304-305)3.2 计算1 设有光滑曲面 .为上的连续函数,则 . 例4 计算积分, 其中是球面 被平面 所截的顶部 . 例5 求，其中是球面与平面的交线。解法1 解法2 求曲线的参数方程。由，消去，得, 即 令，则于是得到两组参数方程 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则解法3 作坐标旋转。就坐标是，新坐标是，旋转角为，则旋转变换的一般公式为 ， 因为平面的单位法矢为，则它与轴的夹角余弦为。下面分两步进行旋转，先将平面旋转，得新坐标系；再将平面旋转，得新坐标系。即 由旋转公式得 于是得 在这组变换下，曲线：，变为，故 注1 三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。解法2常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。坐标系下的线积分 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。作业：P309310 1（1）（3）（5）（7）、3（2）（4）（6）、4（1）（4）（7）、9、11 2 第二型曲线积分和第二型曲面积分教学目的1 掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的定义和计算2 教学过程1 第二类曲线积分（1）力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得 , 即 . （2）稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量 B为, ( 是切向量方向与X轴 正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A 题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线 方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量 . ,因此 , .由, 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 .1.1 第二型曲线积分的定义闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为 . 流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ,因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 .1.2 第二型曲线积分的性质 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.1.3 第二型曲线积分的计算曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有. (证略) 例1 计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为 直线段AB 抛物线; A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . 例2 计算积分, 这里L : 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 ); 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 ); 沿折线闭合路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). 例3 计算第二型曲线积分 I = , 其中L是螺旋线, 从到的一段 . 例4 求在力场作用下, 质点由点A沿螺旋线到点B所作的功, 其中 L : , . 质点由点A沿直线L到点B所作的功例5 计算曲线积分，（1）是球面三角形，的边界线，从球的外侧看去，的方向为逆时针方向；（2）是球面和柱面的交线位于平面上方的部分，从轴上点看去，是顺时针方向。解 （1）显然，具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将分为三段：， （，） ：， （，）：， （，）则 或 注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为上的积分的3倍。第二种方法：积分曲线不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。问题1 是否可化为既是上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即（2）曲线关于平面对称，且方向相反同理 故 下面求曲线的参数方程。方法1 利用球面的参数方程，代入柱面方程得，于是得的参数方程， ， ， 从到方法2 利用柱面的参数方程，代入球面方程，得的参数方程， ， ， 从到不妨取方法1中的参数方程进行计算， 注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项积分，曲线关于平面对称，且方向相反，而被积函数关于是偶函数（不是奇函数），则上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的。2 曲面的侧P316-317 单侧曲面与双侧曲面:双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 ,则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧.3 第二类曲面积分3.1 稳流场的流量: 以磁场为例. 3.2 第二型曲面积分的定义 闭合曲面上的积分及记法.3. 3 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性.3.4 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设为曲面的指定法向, 则 . 3.5 第二型曲面积分的计算 1 设是定义在光滑曲面 D上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即 ), 则有 .类似地, 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分 .对光滑曲面 D, 在其右侧上的积分 .计算积分时, 通常分开来计算三个积分 , , .为此, 分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面的定向决定. 例6 计算积分,其中是球面 在部分取外侧. 例7计算积分， 为球面取外侧. 解 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, =+ = . 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有 : ; : .因