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概率论与数理统计第一章 习题及答案习题1.1 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。解:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)(正,正),(正,反);(正,正),(反,反)(正,正),(正,反),(反,正)2. 在掷两颗骰子的试验中,事件分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。解:;3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件:(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报;(3)只订一种报; (4)正好订两种报;(5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报;(7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅;(9)三种报纸不全订阅。解:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)或(8);(9)4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:, , , , , .解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事件满足,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:,.解:如图:6. 若事件满足,试问是否成立?举例说明。解:不一定成立。例如:,那么,但。7. 对于事件,试问是否成立?举例说明。解:不一定成立。 例如:,那么,但是。8. 设,试就以下三种情况分别求:(1), (2), (3).解:(1);(2);(3)。9. 已知,求事件全不发生的概率。解:=10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率:“三个都是红灯”=“全红”; “全绿”; “全黄”; “无红”; “无绿”; “三次颜色相同”; “颜色全不相同”; “颜色不全相同”。解:;.11. 设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3次),试求:(1) 取出的3件中恰有1件是次品的概率;(2) 取出的3件中至少有1件是次品的概率。解:一次拿3件:(1);(2);每次拿一件,取后放回,拿3次:(1);(2);每次拿一件,取后不放回,拿3次:(1);(2)12. 从中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率:,。解:;或13. 从中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。解:14. 一个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在10月份; (2)6人中恰有4人生日在10月份; (3)6人中恰有4人生日在同一月份;解:(1);(2);(3)15. 从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复),计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解:或习题1.21. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率。解:令“取到的是等品”,。 2. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合格品,求另一件也是不合格品的概率。解:令 “两件中至少有一件不合格”, “两件都不合格”3. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时,系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下,系统II仍有效的概率为0.85,求(1) 两种报警系统I和II都有效的概率;(2) 系统II失灵而系统I有效的概率;(3) 在系统II失灵的条件下,系统I仍有效的概率。解:令 “系统()有效” , “系统()有效”则(1)(2)(3)4. 设,证明事件与独立的充要条件是证:与独立,与也独立。: 又 而由题设即 ,故与独立。5. 设事件与相互独立,两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是,求和.解:,又与独立 即。6. 证明 若0,0,则有(1) 当与独立时,与相容;(2) 当与不相容时,与不独立。证明:(1)因为与独立,所以 ,与相容。(2)因为,而,与不独立。7. 已知事件相互独立,求证与也独立。证明:因为、相互独立,与独立。8. 甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解:令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾,那么令表示最多有一台机床需要工人照顾,那么9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为,(称为元件的可靠性),假设各元件能否正常工作是相互独立的,计算下面各系统的可靠性。系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2n2n注:利用第7题的方法可以证明与时独立。解:令 “系统()正常工作” “系统()正常工作” “第个元件正常工作”, 相互独立。那么 10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券,每人购买1张,求(1) 前三人中恰有一人中奖的概率;(2) 第二人中奖的概率。解:令“第个人中奖”,(1) 或(2)11. 在肝癌诊断中,有一种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查出95%的真实患者,但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录,每10 000人中有4人患有肝癌,试求:(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率;(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。解:令“被检验者患有肝癌”, “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么,(1) (2) 12. 一大批产品的优质品率为30%,每次任取1件,连续抽取5次,计算下列事件的概率:(1)取到的5件产品中恰有2件是优质品;(2) 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品,这5件中恰有2件是优质品。解:令“5件中有件优质品”,(1)(2) 13. 每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时,从中任取1件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误,1件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算: (1)抽取的1件产品为正品的概率; (2)该箱产品通过验收的概率。解:令 “抽取一件产品为正品”“箱中有件次品”, “该箱产品通过验收”(1)(2) 14. 假设一厂家生产的仪器,以概率0.70可以直接出厂,以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求:(1)全部能出厂的概率;(2)其中恰有2件不能出厂的概率;(3)其中至少有2件不能出厂的概率。解:令 “仪器需进一步调试” ; “仪器能出厂” “仪器能直接出厂” ; “仪器经调试后能出厂”显然,那么所以令“件中恰有件仪器能出厂”,(1)(2)(3)15. 进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为,试求以下事件的概率:(1)直到第次才成功;(2)第次成功之前恰失败次;(3)在次中取得次成功;(4)直到第次才取得次成功。解:(1)(2)(3)(4)16. 对飞机进行3次独立射击,第一次射击命中率为0.4,第二次为0.5,第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6,若被击中三次,则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解:令“恰有次击中飞机”, “飞机被击落”显然:而,所以;习题1.3解答1. 设为随机变量,且(), 则(1) 判断上面的式子是否为的概率分布;(2) 若是,试求和.解:令(1)显然,且 所以为一概率分布。(2)为偶数 2.设随机变量X的概率分布为(), 且,求常数.解:,而 ,即 3. 设一次试验成功的概率为,不断进行重复试验,直到首次成功为止。用随机变量表示试验的次数,求的概率分布。解:4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求 (1)的概率分布; (2)。解:(1)(2)5. 一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少?解:因为学生靠猜测答对每道题的概率为,所以这是一个,的独立重复试验。 6. 为了保证设备正常工作,需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01,各台设备工作情况相互独立。 (1)若由1人负责维修20台设备,求设备发生故障后不能及时维修的概率; (2)设有设备100台,1台发生故障由1人处理,问至少需配备多少维修人员,才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?解:(1)(按(泊松)分布近似)(2)(按(泊松)分布近似) 查表得7. 设随机变量服从参数为的Poisson(泊松)分布,且,求 (1); (2).解: 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率。解:,即 9. 在长度为的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求 (1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率; (2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率;
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