概率论与数理统计第一章 习题及答案习题1.1 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）(正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反）(正，正)，（正，反），（反，正）2. 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。解：；3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）；（2）；（3）；（4）;（5）；（6）；（7）或（8）；（9）4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：, , , , , .解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：，.解：如图：6. 若事件满足，试问是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：，那么，但。7. 对于事件，试问是否成立？举例说明。解：不一定成立。 例如：，那么，但是。8. 设，试就以下三种情况分别求：（1）， （2）， （3）.解：（1）；（2）；（3）。9. 已知，求事件全不发生的概率。解：=10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：“三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。解：；.11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：（1）；（2）；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）；（2）；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）；（2）12. 从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：，。解：；或13. 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）；（2）；（3）15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：或习题1.21. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令“取到的是等品”，。 2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令 “系统（）有效” ， “系统（）有效”则（1）（2）（3）4. 设，证明事件与独立的充要条件是证：与独立，与也独立。： 又 而由题设即 ，故与独立。5. 设事件与相互独立，两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是，求和.解：，又与独立 即。6. 证明 若0，0，则有（1） 当与独立时，与相容；（2） 当与不相容时，与不独立。证明：（1）因为与独立，所以 ，与相容。（2）因为，而，与不独立。7. 已知事件相互独立，求证与也独立。证明：因为、相互独立，与独立。8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么令表示最多有一台机床需要工人照顾，那么9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2n2n注：利用第7题的方法可以证明与时独立。解：令 “系统（）正常工作” “系统（）正常工作” “第个元件正常工作”， 相互独立。那么 10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；（2） 第二人中奖的概率。解：令“第个人中奖”，(1) 或（2）11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令“被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，（1） （2） 12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。解：令“5件中有件优质品”，（1）（2） 13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。解：令 “抽取一件产品为正品”“箱中有件次品”， “该箱产品通过验收”（1）（2） 14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不能出厂的概率；（3）其中至少有2件不能出厂的概率。解：令 “仪器需进一步调试” ； “仪器能出厂” “仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂”显然，那么所以令“件中恰有件仪器能出厂”，（1）（2）（3）15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）第次成功之前恰失败次；（3）在次中取得次成功；（4）直到第次才取得次成功。解：（1）（2）（3）（4）16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令“恰有次击中飞机”， “飞机被击落”显然：而，所以；习题1.3解答1. 设为随机变量，且(), 则（1） 判断上面的式子是否为的概率分布；（2） 若是，试求和.解：令（1）显然，且 所以为一概率分布。（2）为偶数 2.设随机变量X的概率分布为(), 且，求常数.解：，而 ，即 3. 设一次试验成功的概率为，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量表示试验的次数，求的概率分布。解：4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求 （1）的概率分布； （2）。解：（1）（2）5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为，所以这是一个,的独立重复试验。 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。 （1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：（1）（按(泊松)分布近似）（2）（按(泊松)分布近似） 查表得7. 设随机变量服从参数为的Poisson(泊松)分布，且，求 （1）； （2）.解： 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。解：，即 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求 （1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；