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圆锥曲线方程【说明】本试卷分为第、卷两部分,请将第卷选择题的答案填入答题格内,第卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟第卷(选择题共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1双曲线1的焦点坐标为()A(,0)、(,0)B(0,)、(0,)C(5,0)、(5,0) D(0,5)、(0,5)2若拋物线y22px(p0)的焦点到准线的距离为4,则其焦点坐标为()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(1,0)3已知双曲线1的离心率为e,拋物线x2py2的焦点为(e,0),则p的值为()A2 B1C. D.4过点M(2,0)的直线l与椭圆x22y22交于P1,P2,线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2等于()A2 B2C. D5若点P(2,0)到双曲线1的一条渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为()A. B.C2 D26椭圆1(a0,b0)的离心率为,若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为()A. BC. D7如图所示,设椭圆1(ab0)的面积为ab,过坐标原点的直线l、x轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s、t,则s关于t的函数图象大致形状为图中的()8椭圆1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点M满足|M|1,0,则|M|的最小值为()A3 B.C2 D.9两个正数a,b的等差中项是5,等比中项是4.若ab,则双曲线1的渐近线方程是()Ay2x ByxCyx Dy2x10已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为()A. B3C. D.11直线l过抛物线Cy22px(p0)的焦点F,且交抛物线C于A,B两点,分别从A,B两点向抛物线的准线引垂线,垂足分别为A1,B1,则A1FB1是()A锐角 B直角C钝角 D直角或钝角12已知点F为双曲线1的右焦点,M是双曲线右支上一动点,定点A的坐标是(5,1),则4|MF|5|MA|的最小值为()A12 B20C9 D16第卷(非选择题共90分)题 号第卷第卷总 分二171819202122得 分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上)13已知点F(1,0),直线l:x1,点P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且,则动点P的轨迹C的方程是_14以双曲线1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是_15椭圆1(ab0)的两个焦点是F1(c,0)、F2(c,0),M是椭圆上一点,且F1M0,则离心率e的取值范围是_16给出如下四个命题:方程x2y22x10表示的图形是圆;若椭圆的离心率为,则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形;抛物线x2y2的焦点坐标为;双曲线1的渐近线方程为yx.其中正确命题的序号是_三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.求椭圆及双曲线的方程18(本小题满分12分)若一动点M与定直线l:x及定点A(5,0)的距离比是45.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设所求轨迹C上有点P与两定点A和B(5,0)的连线互相垂直,求|PA|PB|的值19(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线xy10与抛物线相交于A、B两点,且|AB|.(1)求抛物线的方程;(2)在x轴上是否存在一点C,使ABC为正三角形?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由20(本小题满分12分)如图,已知点F(1,0),直线l:x1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知1,2,求12的值21.(本小题满分12分)如图所示,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1)平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0),且交椭圆于A,B两不同点(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)求证;直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形22(本小题满分12分)如图所示,椭圆C的方程为1(ab0),A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为1的直线交椭圆于B点,点P(1,0),且BPy轴,APB的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程答案:一、选择题1Cc2a2b216925,c5.2B根据p的几何意义可知p4,故焦点为(2,0)3D依题意得e2,拋物线方程为y2x,故2,得p,选D.4D设直线l的方程为yk1(x2),代入x22y22,得(12k)x28kx8k20,所以x1x2,而y1y2k1(x1x24),所以OP的斜率k2,所以k1k2.5A由于双曲线渐近线方程为bxay0,故点P到直线的距离dab,即双曲线为等轴双曲线,故其离心率e.6B由e得a22b2,设交点的纵坐标为y0,则y0kb,代入椭圆方程得1,解得k,选B.7B根据椭圆的对称性,知stab,因此选B.8B依题意得F(3,0),MFMP,故|M|,要使|M|最小,则需|P|最小,当P为右顶点时,|P|取最小值2,故|M|的最小值为,选B.9B由已知得(ab)故双曲线的渐近线方程为yxx(在这里注意a,b与双曲线标准方程中的a,b的区别,易由思维定势而混淆)10D设椭圆短轴的一个端点为M.由于a4,b3,cb.F1MF2b0)则根据题意,双曲线的方程为1且满足解方程组得椭圆的方程为1,双曲线的方程118【解析】(1)设动点M(x,y),根据题意得,化简得9x216y2144,即1.(2)由(1)知轨迹C为双曲线,A、B即为C的两个焦点,|PA|PB|8.又PAPB,|PA|2|PB|2|AB|2100.由2得|PA|PB|18.19【解析】(1)设所求抛物线的方程为y22px(p0),由消去y,得x22(1p)x10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22(1p),x1x21.|AB|,121p2242p480,p或(舍)抛物线的方程为y2x.(2)设AB的中点为D,则D.假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0),ABC为正三角形,CDAB,x0.C,|CD|.又|CD|AB|,故矛盾,x轴上不存在点C,使ABC为正三角形20【解析】(1)设点P(x,y),则Q(1,y),由,得(x1,0)(2,y)(x1,y)(2,y),化简得C:y24x.(2)设直线AB的方程为xmy1(m0)设A(x1,y1),B(x2,y2),又M,联立方程组消去x,得y24my40,(4m)2160,故由1,2,得y11y1,y22y2,整理,得11,21,122220.21【解析】(1)设椭圆的方程为1(ab0),所求椭圆的方程为1(2)直线lOM且在y轴上的截距为m,直线l方程为:yxm由2x26mx9m2180直线l交椭圆于A、B两点,(6m)242(9
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