课堂达标(十二) 函数模型及应用A基础巩固练1向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的图象如图所示则杯子的形状是()解析从题图看出，在时间段0，t1，t1，t2内水面高度是匀速上升的，在0，t1上升慢，在t1，t2上升快，故选A.答案A2用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A3B4C6D12解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则yx2x(6x)2(x3)218，当x3时，y最大答案A3一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车(精确到1小时)解析(1)设经过x小时才能开车由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5.答案54(2018北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)公司决定从原有员工中分流x(0x100，xN*)人去进行新开发的产品B的生产分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A15B16 C17D18解析由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100x)(11.2x%)t，则由，解得0x.因为xN*，所以x的最大值为16.答案B5(2018武汉检测)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.120.132.因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元答案C6(2018石家庄模拟)在翼装飞行世界锦标赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段0，x内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是()解析由题意可得，当x0,6时，翼人做匀加速运动，v(x)80x，“速度差函数”u(x)x.当x6,10时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)1608080，当x10,12时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)18010x，u(x)160(18010x)10x20.当x12,15时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)16060100，结合所给的图象，故选D.答案D7(2018河南安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是_解析由题意，第k档次时，每天可获利润为：y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10)，配方可得y6(k9)2864，当k9时，获得利润最大答案98(2018沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析依题意有aeb8a，b，yaet，若容器中只有开始时的八分之一，则有aeta，解得t24，所以再经过的时间为24816 min.答案169某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为_.解析设新价为b，依题意，有b(120%)a(125%)b(120%)25%，化简得 ba.yb20%xa20%x，即yx(xN*)答案yx(xN*)10(2018珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线当t(0,14时，曲线是二次函数图象的一部分，当t14,40时，曲线是函数yloga(t5)83(a0且a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳(1)试求pf(t)的函数关系式(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由解(1)t(0,14时，设pf(t)c(t12)282(c0)，将(14,81)代入得c，当t(0,14时，pf(t)(t12)282；t14,40时，将(14,81)代入yloga(t5)83，得a，当t14,40时，pf(t)log(t5)83.所以pf(t)(2)t(0,14时，由(t12)28280，解得122t122，所以t122，14，t(14,40时，由log(t5)8380，解得5t32，所以t(14,32，所以t122，32，即老师在t122，32时段内安排核心内容使得学生听课效果最佳B能力提升练1(2018郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A5年B6年C7年D8年解析第n年的年产量y因为f(n)n(n1)(2n1)，所以f(1)3，当n2时，f(n1)n(n1)(2n1)，所以f(n)f(n1)3n2，n1时，也满足上式所以第n年的年产量为y3n2，令3n2150，所以n250，因为nN，n1，所以1n7，所以nmax7.答案C2某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效设某人上午800第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A上午1000 B中午1200C下午400 D下午600解析当x0,4时，设yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.当x4,20时，设yk2xb.把(4,320)，(20,0)代入得解得y40020x.yf(x)由y240，得或3x8.故第二次服药最迟应在当日下午400.故选C.答案C3一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析当x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)当0x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润答案y(xN*)；164商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba)这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得，最佳乐观系数x的值等于_.解析依题意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，两边同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.答案5如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ab)在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积解设四边形EFGH的面积为S，由题意得SAEHSCFGx2，SBEFSDHG(ax)(bx)由此得Sab22x2(ab)x22.函数的定义域为x|0xb，因为ab0，所以0b.若b，即a3b，x时面积S取得最大值；若b，即a3b时，函数S22在(0，b上是增函数，因此，当xb时，面积S取得最大值abb2.综上可知，若a3b，当x时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a3b，当xb时，四边形EFGH的面积取得最大值abb2.C尖子生专练有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k(1k4，且kR)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为ykf(x)，其中f(x)若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由解(1)由题意知k3，k1.(2)因为k4，所以y当0x4时，由44，解得4x8，所以0x4.当4x14时，由282x4，解得x12，所以4x12.综上可