第二节 测量与误差 由物理实验的特征可以看出，实验离不开测量，测量是实验的基本任务。下面就讨论一下测量与误差的基本概念，以及误差的分类。 一、测量与误差的基本概念 1.测量：是借助仪器，通过一定的方法，将待测量与一个选作标准单位的同类量进行比较的过程。其比值即是该被测量的测量值。记录下来的测量结果应该包含测量值的大小和单位，二者缺一不可。按照测量的方式，测量可分为直接测量和间接测量；按照测量的条件，测量可分为等精度测量和不等精度测量。 2.直接测量：是指待测物理量的大小可以从选定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测量。相应的待测物理量称为直接测量量。例如，用米尺测长度，用秒表测时间，用电表测电压、电流，用温度计测温度等。3.间接测量：是指待测量需要根据其他直接测量的物理量的值，通过一定的函数关系（一般为物理概念、定理、定律），才能计算出来的测量过程，相应的待测量称为间接测量量。 例如，如果先测量出圆柱体的底面直径和高度h，再利用计算其体积。在这一测量中，对D和h是直接测量，对V则是间接测量。在实验中我们发现，直接测量是间接测量的基础。然而，对一个给定的待测物理量，它属于直测量，还是属于间测量，与待测量本身没有直接联系，而是取决于实验方法的采用和实验仪器、仪表的选用。比如，用伏安法测电阻时，电阻是间测量；而当使用欧姆表和电桥作测量仪器时，电阻为直测量。 4.真值：被测物理量所具有的、客观的、真实的数值。记为。严格地讲，真值只是一个理想化定义，真值是不能获得的。 5.测量值：通过测量所获得的被测物理量的值。记为。一般地，总是不会等于真值的，只能接近真值。6.平均值：在相同条件下，对某物理量进行的一组n次测量的值、之和再除以测量次数n所得的值。记为。即 对这组测量来讲，被认为是最接近真值的，故又称为测量的最佳值或近真值。它与真值的关系为 因此，在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。 7.误差：测量值与真值之差。记为。即。 由于真值是不能获得的，因此，严格意义上的误差也是不能求得的。 8.偏差(残差)：测量值与相同条件下多次测量所得平均值的差值。记为。即。由于可用近似代替，故通常也用代替。即，一般情况下，我们所说的误差就是指偏差。 二、误差的分类 研究测量误差是物理实验的重要内容，在物理实验中，由于测量对象、测量仪器、实验方法、测量环境、观测者等因素的作用，测量结果与真值之间总存在一定的差值。根据引起误差的主要因素的不同，一般可将误差分为系统误差、随机误差和疏失误差三大类。这种划分及其相应的概念，虽然与现在广泛采用的描述测量结果的不确定度概念之间不一定存在简单的对应关系，甚至有些概念可能还是不太严格的。但是作为思维和理解的基础，还是应该有所了解。 1.系统误差定义：在相同的条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小及符号都保持不变或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。特征：系统误差是具有系统性和方向性的。来源：(1)仪器。由于仪器本身的缺陷或没有按照规定条件使用仪器而造成的，如零点偏离、安装错误、元件老化等；(2)环境。实验条件不能达到理论公式所规定的要求，如温度、湿度、气压、电源等条件对实验条件的偏离；(3)方法。测量所依据的理论公式本身的近似，或测量方法所带来的偏差等；(4)观测者。观测者本身生理或心理特点造成的，如动态滞后、读数有偏大或偏小的痼癖等。规律：(1)定值。误差的数值与符号都保持不变。如零点不准。(2)累积性的。误差的数值随待测物理量的增大而增大。如用受热后的钢卷尺测长度。(3)周期性的。误差的变化是以物理量的某一数值为周期的。如使用转轴不在表盘几何中心的秒表测时间。系统误差是测量误差的重要组成部分，在任何一项实验工作和具体测量中，最大限度地消除或减小一切可能存在的系统误差，是实验测量工作的主要任务之一。消除系统误差，首先要找到引起系统误差的原因，有针对性地采取措施；或者对测量结果进行修正。如果发现系统误差涉及实验条件和测量方法，应该反复测量并进行对比。系统误差的减小或消除是比较复杂的问题。2.随机误差定义：在相同条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小和符号都不确定，这种误差称为随机误差。特征：单次测量的随机误差是无法预测的。 来源：(1)环境。如温度、气压、电压等的波动。 (2)观测者。如读数不稳定。 规律：对单次测量的随机误差虽然无法确定，对多次测量来讲，随机误差的分布却是服从一定的统计分布规律的。当测量次数很多时，可近似为统计分布中的正态分布。其概率密度函数的特征如图0-1所示。图0-1 随机误差的正态分布0f()-+图中：为随机误差；为误差分布的概率密度函数，它表示在误差为附近单位误差间隔内出现随机误差为的测量的几率。 了解正态分布是很有意义的，这一方面是因为实际测量分布很多都可近似为正态分布，或是以正态分布为极限的；另一方面正态分布是一种连续型分布，便于进行理论处理，而且对它的理论研究目前是比较全面的；再加之，对许多实际分布的讨论都是以正态分布为基础进行的。 通过对随机误差概率密度分布函数的正态分布图的分析可知，正态分布具有如下三大特点： (1)单峰性。随机误差的绝对值小的测量比绝对值大的测量出现的几率大。这一特点表明物理量的实际测量值是接近其真实值的，是有意义的。 (2)对称性。随机误差绝对值相等的测量出现的几率相同。这一特点告诉我们，在多次测量中用测量列的平均值可以消除随机误差，用平均值代替真值是合适的。 (3)有界性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值是不超过一定限度的。这一特点为我们提供了去除粗大误差的依据，以使测量结果更趋于有意义。 分析研究测量的随机误差是处理实验数据，并从中寻找出具有规律性的东西，评定测量结果的重要内容。因此，了解随机误差计算的意义，掌握其计算方法是非常重要的。 3.疏失误差 定义：实验中，由于实验设计、方法选择、仪器使用、数据读取和记录等错误引起的测量结果的明显歪曲，这种由错误引起的误差叫疏失误差。 由定义可以看出，严格地讲，疏失误差应叫作错误，它是通过实验者的主观努力能够克服的。而系统误差和随机误差是客观的，不可避免的，只能通过实验条件的改善和实验方法的改进予以减小，它们是由客观环境和人的感官的局限决定的。 根据学生实验的基本要求和主要目的，下面我们将主要讨论随机误差（通常简称误差）的计算问题。