第四章 习题1确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得解得。所求公式至少具有2次代数精度。又由于 EMBED Equation.3 故具有三次代数精度。（2）求积公式中含有三个待定系数：，故令公式对准确成立，得，解得故因而又所以求积公式只具有三次代数精度。（3）求积公式中韩两个待定常数，当令公式对准确成立时，得到此等式不含有待定量，无用，故需令公式对准确成立，即得解上述方程组得或故有或将代入上已确定的求积公式中，故求积公式具有2次代数精度。（4）求积公式中只含有一个待定系数，当时，有故令时，求积公式精确成立，即解得故有将代入上述已确定的求积公式中，有再另代入求积公式时有故求积公式具有3次代数精度。2分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少要保留5位）。解：运用梯形公式，其误差运用Simpson公式，其误差为运用Cotes公式，其误差为3推到下列三种矩形求积公式;解：将出Taylor展开，得，两边在上积分，得将处Taylor展开，得，两边在上积分，得将处Taylor展开，得两边在上积分，得4用下列方法计算积分，并比较结果。（1）Romberg方法；（2）三点及五点Gauss公式；（3）将积分区间分为四等分，用复化两点Gauss公式。解：（1）用Romberg算法计算，计算结果如表4.1表4.1k01.3333331.1111111.0992581.09863011.1666671.0999991.09864021.1166661.09872531.10故 （2）用三点及五点Gauss-Legendre求积公式，需先对求积区间1，3作如下变换，令则当时，且，三点Gauss公式五点Gauss公式（3）用复化的两点Gauss求积公式计算，需将1，3四等分，则 的真值为5用三点公式和五点公式求在=1.0，1.1和1.2处的导数值，并估计误差。的值由表4.2给出。表4.21.01.11.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736解：三点求导公式为上表中取，分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，由于故可得误差及导数值如表4.3表4.31.01.11.2三点公式-0.24792-0.21694-0.18596-0.25000-0.21596-0.18783理论误差值0.002500.001250.00250实际误差值0.002080.000980.00187