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天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)数 学(理)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟祝各位考生考试顺利!第卷 选择题 (共40分)注意事项:1答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上参考公式:如果事件、互斥,那么 柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 集合等于( )ABCD2. 已知满足线性约束条件,则的最小值是( )A.6 B.5C.38D.103. 二项式展开式中的常数项是( )A15B60C120D2404. 对于实数和,定义运算,运算原理如右图所 示,则式子的值为( )A8 B10C12 D5. 在中,则的值为( )A BC D6. 线段是圆的一条直径,离心率为的双曲线以为焦点若是圆与双曲线的一个公共点,则的值为( )A. B. C. D. 7. 已知实数,若,则的最小值为( )A. B. C. D. 8. 函数,则下列说法中正确命题的个数是( ) 函数有3个零点; 若时,函数恒成立,则实数k的取值范围是; 函数的极大值中一定存在最小值; ,对于一切恒成立 A1 B2 C3 D4 第卷 非选择题 (共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9.设是虚数单位,复数= 10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为 . 11. 直线被抛物线 所截得的弦长为4,则 .12.在中,,的平分线交于,若,且,则的长为 . 13. 如图所示,已知与相切,为切点,过点的割线交圆于两点,弦,相交于点,为上一点,且,若,则=_.14. 设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,则的范围是 .三、解答题:本大题6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15(本小题满分13分)已知函数.()求的最小正周期,并求出当时,函数的值域;()当时,若, 求的值. 16(本小题满分13分)由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司在某站台的名候车乘客中进行随机抽样,共抽取10人进行调查反馈,所选乘客情况如下表所示:组别候车时间(单位:min)人数一1二5三3四1()估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数;()现从这10人中随机取3人,求至少有一人来自第二组的概率;()现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查,设这3个人共来自个组,求的分布列及数学期望.17(本小题满分13分)如图,多面体中,两两垂直,且,.()若点在线段上,且,求证:;()求直线与平面所成的角的正弦值;()求锐二面角的余弦值.18(本小题满分13分)设,若其中()求;()求证:为等比数列,并求其通项公式;()若其中,试比较与的大小,并说明理由19(本小题满分14分)已知椭圆()的离心率为,椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为. ()求椭圆的方程;()四边形的顶点在椭圆上,且对角线均过坐标原点,若.(i) 求的范围;(ii) 求四边形的面积.20(本小题满分14分)已知函数,图象与轴交于点(异于原点),在处的切线为,图象与轴交于点且在该点处的切线为,并且与平行.()求的值; ()已知实数,求函数的最小值;()令,给定,对于两个大于1的正数,存在实数满足:,并且使得不等式恒成立,求实数的取值范围.天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)数学理科参考答案一、选择题:每小题5分,满分40分题号12345678答案BABCCDAB二、填空题: 每小题5分,共30分.9;10 ; 110; 12; 13; 14 三、解答题15.解:(1).3分.2分 4分由,得 5分6分时,函数的值域为 7分.8分(2); 所以 9分 10分=11分=13分16.解:()候车时间少于分钟的人数为 人; 3分()设“至少有一人来自第二组为事件A”7分()的可能值为1,2,3 10分所以的分布列为X123P11分13分17解:()分别取的中点,连结,则有. 1分又四边形是平行四边形2分又平面4分()如图,以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.则6分设平面的一个法向量,则有,化简,得令,得 8分设直线与平面所成的角为,则有.9分所以直线与平面所成的角的正弦值为.()由已知平面的法向量设平面的一个法向量令则11分设锐二面角为则12分所以锐二面角的余弦值为13分18.解:()2分 ().3分 是首项为,公比为的等比数列4分 的通项公式是5分()6分两式相减得 7分 8分 9分 只要比较与大小当n时,即10分当n2时,即11分当 故n1或2时,时,(结论不写不扣分)13分19.解:(I)由已知,2分于是3分所以椭圆的方程为4分(II)当直线AB的斜率不存在时,所以的最大值为2. 5分当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为,设联立,得 6分 7分 8分= 9分 10分 因此, 11分另解:设直线方程:,方程:分别求出的坐标 占2分分情况讨论, 0时,分析 所在的象限,求范围占3分同理时占1分结论占1分 (ii)设原点到直线AB的距离为d,则 13分.14分20. 解: 图象与轴异于原点的交点,图象与轴的交点,由题意可得,即, 2分, 3分(2)=4分令,在 时,在单调递增, 5分图象的对称轴,抛物线开口向上当即时, 6分当即时, 7分当即时, 8分,所以在区间上单调递增 9分时,当时,有,得,同理,10分 由的单调性知 、从而有,符合题设. 11分当时,由的单调性知 ,与题设不符 12分当时,同理可得,得,与题设不符. 13分综合、得 14分
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