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精选优质文档-倾情为你奉上中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一. 教学内容: 1. 圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系,正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 (4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 (5)切线的性质及判定。 (6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质,两圆的公切线性质。 (9)圆周长、弧长;圆、扇形,弓形面积。 (10)圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表: 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多,常见的有填空题、选择题、计算题或证明题,近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图: 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以120m为半径的圆的外部,如图所示: 解: 点导火索的人非常安全 【例2】. 已知梯形ABCD内接于O,ABCD,O的半径为4,AB6,CD2,求梯形ABCD的面积。 分析:要求梯形面积必须先求梯形的高,即弦AB、CD间距离,为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理,故作OECD于E,延长EO交AB于F,证OFAB。 此题容易出现丢解的情况,要注意分情况讨论。 解:分两种情况讨论: (1)当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时,如图(1): 过O作OECD于E,延长EO交AB于F 连OC、OB,则CEDE ABCD,OECD OFAB,即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中,EC1,OC4 (2)当弦AB、CD在圆心O的同侧时,如图(2): 过O作OECD于E,交AB于F 以下证法同(1),略。 【例3】. 如图,已知AB为O的直径,P是OB的中点,求tanCtanD的值。 分析:为了求tanCtanD的值,需要分别构造出含有C和D的两个直角三角形。而AB是直径,为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD,则得到RtACB和RtADB。可以发现ACDABD,ADCABC,于是,可以把tanCtanD转化为 解:连结BC、BD AB是O的直径,ACBADB90 ACDABD,ADCABC 作AECD于E,作BFCD于F 则AECADB ACADAEAB 同理,BDBCBFAB APEBPF P为半径OB的中点 tanCtanD3 【例4】. 分析:由已知条件,等边ABC可得60角,根据圆的性质,可得ADB60,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC。 证明:延长DB至点E,使BEDC,连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60,ABAC ADBACB60 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在AEB和ADC中, AEAD ADB60 AED是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明:本例也可以用其他方法证明。如: (1)延长DC至F,使CFBD,连结AF,再证ACFABD,得出ADDF,从而DBCDDA。 (2)在DA上截取DGDC,连结CG,再证BDCAGC,得出BDAG,从而DBCDDA。 【例5】. 如图,已知四边形ABCD内接于O,AB是直径,ADDC,分别延长BA、CD交于点E,BFEC交EC的延长线于F,若EAAO,BC12,求CF的长。 分析:在RtCFB中,已知BC12,求CF,故可寻找与之相似的直角三角形,列比例式求解。 解:连结OD,BD ABCAOD ODBC EAAO,EAAOBO AB16,BE24 四边形ABCD内接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC 设ADDCx,EDy,则有 AB为O的直径 ADBF90 又DABFCB RtADBRtCFB 说明:与圆有关的问题,大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形,找到线段之间的关系,并且运用了方程的思想解几何问题,这是解几何问题的一种重要方法。 【例6】. 如图,已知等腰ABC中,ABAC,以AB为直径的O分别交AC、BC于 解:连结FD AB是直径,ADBC ABAC,BDDC,FADDAB 四边形ABDF是圆内接四边形 CFDB C是公共角 ABCDFC ABAC CDDF (也可以证CFDB,ABAC,BC,CCFD,CDDF。) DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF,DECF 设CD3x,AC5x EC9 【例7】. 如图,相交两圆的公共弦长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。 解:公共弦AB120 【例8】.一个长方体的香烟盒里,装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后,二十支香烟排列成三行,如图(1)所示。经测量,一支香烟的直径约为0.75cm,长约为8.4cm。 (1)试计算烟盒顶盖ABCD的面积(本小题计算结果不取近似值)。 (2)制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张(不计重叠粘合的部分,计算结果 解题点拨:四边形ABCD中,AD长为7支香烟的直径之和,易求;求AB长,只要计算出如图(2)中的O1E长即可。 解:(1)如图(2),作O1EO2O3 四边形ABCD的面积是: (2)制作一个烟盒至少需要纸张: 【例9】. 在直径为20cm的圆中,有一弦长为16cm,求它所对的弓形的高。 解:一小于直径的弦所对的弓形有两个:劣弧弓形与优弧弓形。 如图,HG为O的直径,且HGAB,AB16cm,HG20cm 故所求弓形的高为4cm或16cm【例10】.求:CAD所夹圆内部分的面积。 解:符合题设条件的图形有两种情况: (1)圆心O在CAD的内部,如图(1),连结OC、OD,过O作OEAD于点E OCAB (2)圆心O在DAC的外部时,如图(2),有: 【例11】. 分析:由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定,所以要分多种情况讨论,可分为四种情况。 解:(1)当AB、CD不相交时,且AB、CD在圆心的两侧,如图(1)连结OD、OB。 M、N分别是弦AB、CD的中点,OD、OB过圆心O 图(1) (2)当AB、CD不相交,且在圆心O的同侧时,如图(2),连结OB、OC 图(2) (3)当AB、CD相交于点P,且圆心O在DPA的内部时,如图(3),DPA是圆内角, 图(3) (4)当AB、CD相交于点P,且圆心O在DPA的外部时,如图(4) 图(4) 【例12】.已知:如图,圆心A(0,-3),圆A与x轴相切,圆B的圆心B在x正半轴上,且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N:(1)求证AOBNPB;(2)设圆A半径为r1,圆B半径为r2,若r1:r23:2,求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式;(3)设点B(x1,0),点B关于y轴的对称点B(x2,0),若x1x2-6,求过B、A、B三点的抛物线解析式;(4)若圆A的位置大小不变,圆心B在x正半轴上移动,并始终有圆B与圆A外切,过点M作圆B的切线MC,C为切点,MC时,B点在x轴的什么位置?从你的解答中能获得什么猜想? 解:(1) 设直线MP的解析式为ykxb, (3)设抛物线为yax2bxc(a0) 令y0,则有ax2bxc0 B与B关于y轴对称, x1x20,即b0, 又点A(0,-3),C=-3 (4)MCMP 可证APMAOB 猜想:圆心B在x轴的正半轴上任一位置时,都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。【模拟试题】一. 选择题:(本题共24分,每
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