17 期权评价的二项式模型问题如何为期权定价？主要内容设标的资产（股票）价格的运动服从二项式模型(binomial model)，由此导出此股票上的欧式期权的定价公式；讨论美式期权的定价和执行问题。17.1 一期模型的欧式看涨期权评价假设市场无摩擦（不存在交易费用、税收等成本），还假设资本市场上存在一种无风险证券（债券），投资者可以用无风险利率rf 0不受限制地借或贷。记S为当前时刻股票价格，考虑单周期投资问题， rf为单周期的利率。 股票的价格运动为二项式的，就是说在下一期的股价只有两种可能的状态：上升或下降，而且S可能上升到uS的概率为p，下降到dS的概率为（1- p）。其中u 1+rf d 0。易于证明如果这个不等式成立。就存在套利的机会。S的运动如图17.1。现在考虑一个此股票上的欧式看涨期权：T = 1，执行价为X，这个call的价值运动参看图17.2。这个期权在t =1时，以p的概率取cu = maxuS X，0，1 p的概率取cd = max dS X，0。问题是现在(t = 0)为了得到这个期权应该付出多少钱？图中的c记这个期权在t = 0的价格。分析思路构造一个投资组合复制无风险证券卖空一份股票，同时购买m份期权，其中m待定。这个投资组合在t = 0 的总价值为（S mc），在期权到期日t =1，它以概率p取值uS mcu，以概率(1 p)取值dS mcd，参看图17.3。 选择m使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即uS mcu = dS mcd。由此解出m = 。 (17.1)当m按(17.1)式选取时，这个投资组合变成无风险的，m称为对冲比（hedge ratio）。为了不存在套利机会，这个投资组合的期初投资(S mc)在t = 1的价值必须等于(1+rf)(S mc)，即(1+rf)(S mc) = uS mcu = dS mcd，由此解出c = 。(17.2)(17.2)式可改写为c = cu + cd 。(17.3)如记q = , 1 q = ，(17.4)则(17.3)可记为c = qcu + (1 q)cd。(17.5)由(17.4)知道：0 q 1及q + (1q) =1，从而可把(q，1 q)看作一个概率分布，称它为风险中性(risk neutral)概率或对冲概率（hedging probability），这样，qcu + (1 q)cd 可看作在风险中性概率下计算的call在t = 1的数学期望，从而(17.5)可写为c = ，(17.6)其中是指按风险中性概率（q，1 q），而不是按实际概率（p，1 - p）计算的数学期望。从形式上看，c1以“概率”q取cu，以“概率”（1 q）取cd。这里概率打引号意指q 和（1 q）不是实际概率，是一个人为的概率。一般而言，期权在t = 0的价值c =pcu + (1 p)cd，(17.7)除非实际概率p = q。什么人会认为p = q呢？对一个风险中性的投资者，因为他对在任何股票上投资要求的期望回报率都为无风险利率rf，故有(1+rf)S = ES1，或(1+rf)S = puS + (1 p)dS，由此求得p = 。这正是(17.4)中的q，从而q就是风险中性投资者认为股票从S上升到uS的概率p。这就是为什么把q称为风险中性概率的原因。如果在(17.7)的右边取p = q，则(17.7)成为等式。注意上述推导过程对欧式看跌期权也成立。因此当股价运动模式如图17.1，则欧式看跌期权在t = 0时的价值p = qpu + (1 q)pd =，(17.8)其中pu = maxX uS, 0, pd = maxX dS, 0，q由(17.4)给出。由上述讨论还知道(17.5)对股价本身也成立，即S = quS + (1 q)dS = 。从欧式看涨期权(17.3) 或(17.5)可看出：() c与股票从S上升到uS的实际概率p 无关，从而尽管各个投资者对p 是多少的看法不同，但只要他们在其它参数（u，S，X和rf）上的看法一致，则都同意同一个期权价格c。() 在推导c的公式时，没有用到投资者对风险的态度，即无论他是风险厌恶或风险中性或风险喜爱者，只要认为u，S，X和rf一样，则c也一样。() 与欧式看涨期权的价值有关的唯一的随机变量是股票本身的价格，其它的因素（例如市场证券组合）均与此无关。17.2 二期模型的欧式看涨期权评价考虑二期问题。在时刻t = 1，股价S以概率p上升到uS，以概率（1 - p）下降到dS。在时刻t = 2，又在t = 1的基础上分别以概率p和（1- p）上升和下降。二期股价运动的二项式模式如图17.4。 在此股票上的欧式看涨期权的价值变化如图17.5。假设每一期的无风险利率都是rf。从图17.5的最右端往左倒推，利用一期的评价公式(17.5)来求出cu和cd，则有cu = qcuu + (1 q)cud，(17.9)cd = qcud + (1 q)cdd，其中q和(1q)是(17.4)的风险中性概率。再用一次一期的评价公式，就推得在t = 0时期权的价值c = qcu + (1 q)cd。把(17.9)代入上式，得c = q2cuu + 2q(1 q)cud + (1 q)2 cdd 。 (17.10)注意，(17.10)右边方括号内的系数正好满足q2 + 2q(1 q) + (1 q)2 = q + (1 q) 2= 1故如果把q2，2q(1 q)和(1 q)2分别看成c2取值在cuu，cud和cdd的概率，则(17.10) 也可写成为c = c2，(17.11)其中数学期望是按风险中性概率分布（q2，2q(1 q)，(1 q)2）计算的。17.3 美式期权评价在前面6.2.3节中已证明，如果股票不分红，则以它为标的资产的美式看涨期权价值和相应的欧式看涨期权的价值是相同的，故美式看涨期权在到期日之前不应该执行。但是，以不分红股票为标的资产的美式看跌期权，在到期日之前执行可能是最优的。 股票分红对美式看涨期权执行决策的影响考虑一个极端的情形：在到期日之前一刻股票支付一次性红利D。从而股价运动模式如图17.6所示。这是一个三期模型。期权到期日t = 3。因为在t = 3之前一刻分红为D，则在t = 3的股价必下降D，否则存在套利机会。考虑在t = 3之前的一期t = 2，这个美式call是否要提前执行的问题。以图17.6中t = 2时最上方一个节点为例。由一期评价公式，在该节点处的看涨期权价值为C = qcu + (1 q)cd= q maxuS2 D X, 0 + (1-q) maxdS2 D X, 0= q (uS2 D X)。如果在该点执行期权可得S2 X。因此，如果D足够大，以致于q (uS2 D X) 0，则在t = 2时执行期权就是一个好的决策。例17.1 设S = 10，1+ rf =1.01/每月，u = 2，d = 0.5，X = 15，一期 = 1个月。考虑二期问题，则股价运动模式如图17.7所示。1)此股票上的欧式看涨期权价值运动模式如图17.8所示。风险中性概率q = = 0.34， 1-q = = 0.66。图17.8中的cu = = = 8.42，cd = = 0。从而欧式看涨期权在t = 0时的价值c = = 2.83。(2)在此股票上的美式看涨期权，由于股票没有分红，故美式看涨期权价值与欧式看涨期权的相同，即C = 2.83。事实上，从图17.9看，图中在0期及1期的每个节点上都附有两个值，在下方的值表示如果在该节点执行此美式看涨期权可获得的利益，上方的值表示如果在该节点不执行可能得到的期望值。最后在t = 2上的数值是如果执行期权得到的利益。比较每个节点上、下方数值的大小，就看出在t = 0及t = 1时，都是上方的值较大，故在t = 0及t = 1不应该执行这个期权。这就证实了在不分红股票上的美式看涨期权不应该在到期日之前执行的结论。(3) 欧式看跌期权的价值变化如图17.10所示。其中pu = = = 3.27，pd = = = 9.85，p = = = 7.54。美式看跌期权的价值参考图17.11。在图中t = 1的两个节点处各有两个值，上方就是依图17.10中算出的pu和pd，代表在该点不执行期权的期望值，下方是在该点执行期权的值，即如果在t = 1时，S2 = uS = 20，则执行期权可得(20 25) = 5；如果在t = 1时，S2 = dS = 20，则执行期权可得(15 5) = 10。在t = 0节点处有三个值。上面一个7.54是在t = 2之前不执行期权（即相当于欧式期权）得到的期望值，第2个是在t = 0执行期权得的值（X S）= 5，第3个值7.64是这样算出的：在t = 0不执行，而在t = 1若股价下降到5，执行得10；若股价上升到20，则不执行，从而得3.27。利用风险中性定价公式，求得= 7.64，比较在t = 0的三个值，最大的为7.64，从而求得这个美式看跌期权的价值P = 7.64，而且求得决策规则如下：t = 0，不执行期权（因为7.64最大）。t = 1，如果S1 = 20，不执行（因为3.27 5）；如果S1 = 5 ，执行（因为10 9.85）。t = 2，如果 S2 = 40，不执行；如果S2 = 10 或S2 = 2.5，都执行。17.4 亚式、回望和障碍期权期权除了美式和欧式外，还有形形色色的期权。本节介绍三种期权：亚式（asian）期权;回望（lookback）期权;障碍（barrier）期权。 亚式看涨期权亚式看涨期权和欧式看涨期权的不同之处在于到期日的支付为maxSa X，0其中Sa = 是股价在期权生命期的平均值。因为这个支付依赖于股价的运动过程本身（即股价运动所实现的轨道），这类期权又称为轨道相依期权。以图17.7的股价变化为例，仍设X = 15，(1+rf) = 1.01。 由图17.7 可构造出图17.12。 它与图17.7的差别仅在于t = 2时的S2换成相应Sa。但由于Sa依赖于轨道，故在t = 2时Sa取4个可能值之一。 相应此股票的亚式看涨期权价值变化如图17.13所示。风险中性概率仍一样，即向上及向下的概率仍为0.34和0.66，故其中的cu = = 2.81，cd = 0，c = = 0.95。对图17.13终端用max15 Sa，0代替，得图17.14亚式看跌期权价值p：pu = 1.09， pd = = 8.23，p = = 5.74。 回望看涨期权回望看涨期权和欧式看涨期权的不同之处在于到期日的支付为max0，Smax ST其中ST是股票在到期日T的价格，Smax是股票价格在期