板材成本控制问题【摘要】本文解决了板材成本控制问题即如何下料， 并建立初等模型来进行求解，并用线性规划的方法计算最大用材数 y与长宽比l的关系。确定切割成的用材数最大以及最大数与板材长宽比的关系。根据四个问题建立不等式，运用分类讨论， 线性规划等方法综合求解，最终结果通过 LINGO软件运行，并给出结果表达式。关于确定最大用材数y与长宽比l的关系，题设的要求是16 n A/B 25,即要求原板材的面积A与每个用材的面积B的比值n在16和25范围之内。依据此 要求，我们在四个问题中分情况讨论可能的下料方式。 除了第一个问题讨论一种 情况，其余问题分别各讨论三种下料方式， 根据其中各个变量的关系来确定最大用材数y与长宽比l的关系。问题一：正方形，按照最规则的顺序排列，依据正方形的边长与原矩形长宽 的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题二：圆形，分为四种下料方式，一是整齐排列，即将每个圆看成是一个 正方形，简化了问题；二是错位排列，使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在 上一排两个圆之间，这种方法材料利用率比第一种高；第三种是将第一二种结合， 即既有整齐排列也有相互错开紧密排列；第四种为不规则排列，用料较多舍弃。 根据每个情况中圆半径原板材长宽之间的关系来确定最大用材数和长宽比的表 达式。问题三：长宽比为2的矩形，也分为三种下料方式，一是把两个长方形当成 是一个正方形来处理；二是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可以把 两个长方形当成是正方形来处理其结果相同，分为许多种小情况；第三种为 不规则排列，用料浪费所以舍弃。根据每个情况中各个变量之间的关系来确定最 大用材数和长宽比的表达式。问题四：长宽比为m的矩形，分为四种下料方式分析。第一种是长方形横排， 第二种是长方形竖排，而第三种是第一二种的结合，第四种不规则排列浪费所以 舍弃。根据各个关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。关键词：板材成本控制、初等模型、线性规划、分类比较目录1问题重述 02问题分析 0总体分析0问题一的分析0问题二的分析0问题三的分析 0问题四的分析13符号说明 14模型假设 25模型建立 2问题二模型的建立 3问题三模型的建立 7问题四模型的建立106模型求解及结果分析 13问题一的模型求解及结果分析 13问题一的模型求解 13问题一的结果分析15问题二的模型求解及结果分析 15问题二的模型求解 15问题二的结果分析21问题三的模型求解及结果分析 21问题三的模型求解 21问题三的结果分析23问题四的模型求解及结果分析 23问题四的模型求解23问题四的结果分析 287模型的优缺点分析 28模型优点28模型缺点288改良方向 289参考文献 281问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。考虑一块面积为A,长宽比为l的 板材。现在需要切割成面积为B的用材。16 n A/B 25,不妨假设n为整数。请根据以下需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数y与l的关系。1用材为正方形，112。2用材为圆形，1 1 2。并给出可能的不同下料方式。3用材为矩形，长宽比为2, 1 1 2。并给出可能的不同下料方式。4用材为矩形，长宽比为 m, 1 1 2,1 m 2。并给出可能的不同下 料方式。2问题分析这四个问题有个共同的特点：都是求解如何下料使得切割的用材数最大以及 最大用材数和板材长宽比的关系。不同点就是同一种下料方式不一定都适用于这 四种情况。就第一个问题而言，相对于其他三个较为简单。下料方式就是使正方形整齐 排列来切割板材使得得到的用材数最大。 其他的下料方式例如斜着切割会导 致板材浪费较多。就问题二来说，可分为四大种情况来考虑。第一种是让圆形整齐排列，关键 在于把每个圆形当成一个正方形来处理， 简化了问题。第二种是使圆形相互错开 紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，关键在于找出板材长与宽分别与能 放的圆的个数的关系，然后根据这关系来解决问题。第三种是前两种情况的结合， 即既有整齐排列也有相互错开紧密排列， 这种情况包括了很多种小情况，比方先 整齐排列后是间隔排列，或者整齐排列与间隔排列相互交错，针对每一种情况都 有不同的解题方式。第四种情况就是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材 浪费较多所以舍弃。就问题三来说，可分为四种情况来考虑。第一种是把长方形全部横放来处理， 关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形其中 两个上下紧挨着的长方形可以看做是两个长方形竖着紧挨着摆放。第二种情况是把长方形竖着摆放，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形，其中两个左右紧挨着的长方形可以看做是两个横着上下紧挨着的 长方形摆放。第三种情况是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可是把 两个长方形当成是正方形来处理其结果相同都有即有许多种小情况，这种情 况可以简化成先是横着排列再是竖着排列， 其结果与这许多小情况结果形同。其 边角料处理方法与第一种类似。第四种情况就是不规则排列，由于这种下料方式 会导致板材浪费较多所以舍弃。就问题四来说有四种情况，第一种是长方形横着整齐排列，排剩余的边角料 部分判断是否可以竖着放进去长方形，分情况处理。第二种是长方形竖着排列， 其方法与第一种类似。第三种是几排横着，几排竖着排列，可见其中有几种小情 况，但都可简化为先横着排列在竖着排列的情况处理。 第四种情况是不规则排列， 由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。3符号说明符号表小说明A板材的面积B用材的面积a板材的宽l板材的长宽比la板材的长b用材止方形边长r用材圆形半径x用材矩形宽2x用材长宽之比为2的矩形长mx用材长宽之比为m）长y最大的用材数4模型假设1假设不考虑刀具的厚度；2假设不考虑在切割板材的过程中的损耗；3假设不考虑板材厚度的影响；4假设不考虑人为的损耗；5假设不考虑切割工艺的不同；6切割过程中不会出现机器故障等其他非正常故障。7假设每次切割都准确无误。5模型建立问题一模型的建立所以决策变作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材 A的长宽比l , 量为l,引入参数正方形的边长b。决策者的目的是使用材数y所以目标函数为a lay -1b b又因为板材面积A与用材面积B有关系16 n A/ B 25 (2)A la a (3)2B b(4)所以有约束条件216 月 25 (5)b另外有所以约束条件为1 l 20 b a (8)作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材A的长宽比l ,所以决策变量为l ,引入参数圆形的半径rr,决策者的目的是使用材数y最大。根据问题二的分析，第一种下料情况如图 5.2,1所示所以目标函数为alay 瓦 (9)2r2r又因为板材面积A与用材面积B有关系16 n A/ B 25 (2)A la a (3)B r2 (10)所以216 R 25 (11)r另外有所以约束条件为1 l 2 (7)4 a 5(12)l r l1 l 2 (7)0 2r a (13)0 2r la 14(a)(b)(a)，一共排的行数a2r 1 (14)根据归纳分析得当或为奇数时，即第一排最后一个圆大于半个圆但不是整圆, rL 1所以每一行的整圆的个数是相同的，第一行整圆的个数是一,所以总共的2昌1用材数为一 n,当义为偶数时，第一排最后一个圆小于半个圆，奇数行的 2L r鸟整圆的个数总比偶数行正圆的个数大1,第一行整圆的个数为 上，所以总共的y =彳JzJz! x(i+i)耳为奇数2后Imn -qQHD ,曰为偶数昌用材数为_J_ 2n ,。所以目标函数为(15)约束条件有J a J (12)l r l1 l 2 (7)0 2r a (13)0 2r la 16(b) (a)处理方法，所以目标函数为必12、岳-为偶数1 产(17)约束条件有a 5一 (12)r . l1 l 2 (7)0 2r a (13)0 2r la16引进参数，整齐摆放的圆形的行数 m1,相互错开紧密摆放的圆形的行数m2,由归纳分析得a v3r 7 2r（m2 1） V3r 2r a18. la所在长上，整齐摆放的整个圆形的个数为里；相互错开紧密摆放的整个圆中,2r la偶数行摆放的整圆的个数为里,假设是 2r则奇数行摆放的整圆的个数为la 且2r 2r192r曳,则目标函数为2rla五（mi m2） 20假设是则奇数行摆放的整圆的个数为la 曳2r r 21 2r电1 ,则目标函数为 2ry 号和1 m2)1m222所以目标函数为卓，（孙+秘）-华K。工修-仔产2T c） 上FjLi上，23约束条件为a 3r m 2r(m2 （12）1) 3r 2r a180 2r a (13)0 2r la16作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材 A的长宽比l ,所以决策变 量为1,引入参数用材矩形宽x,则长为2x,决策者的目的是使用材数y最大。所以目标函数为y a昌(24)x 2x假设是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方 形即lax la 2x 2x (25) 2x则还能放进且个长方形，即2x1聂 2假设是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即la0 la 2x2x(26)(27)所以此时y曰导(24)因此目标函数为巴冈枭(0曲x 2x x)x lx-x 目十曲 a M la 一目 X 2x 2jc)I x lx 2x2x(28)又因为板材面积A与用材面积B有关系所以另有所以约束条件为16 nA/ Bla ax 2xl16-22xx2xx2x25(3)(29)25 (30)5 2(31) lalaala(32)(33)(31)(32)(33)同第一种情况，所以目标函数为琮的“-琮“3导启十层g 口-忌血也(34)约束条件为4 2 a 52(31),J x l1 l 2 (7)0 x a (32)0 2x la (