相交线与平行线复习及练习题二、 知识点梳理一、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同位角、内错角、同旁内角：同位角：1与5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：2与6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：2与5像这样的一对角叫做同旁内角。命题：判断一件事情的语句叫命题。平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。三、经典例题题型一互余与互补例1 一个角的余角比它的补角的少20.则这个角为（）A.30 B.40 C.60 D.75分析若设这个角为x，则这个角的余角是90x，补角是180x，于是构造出方程即可求解.解设这个角为x，则这个角的余角是90x，补角是180x.则根据题意，得(180x)(90x)20.解得：x40.故应选B.说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.题型二平行线的性质与判定例2 判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()3)两直线平行，同旁内角相等。()4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。()答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。 (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。例3 已知：如图1，l1l2，150，则2的度数是（）A.135 B.130 C.50 D.40分析要求2的度数，由l1l2可知1+2180，于是由150，即可求解.解因为l1l2，所以1+2180，又因为150，所以2180118050130.故应选B.说明本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例4 如图2，已知直线l1l2，140，那么2 度.分析如图2，要求2的大小，只要能求出3，此时由直线l1l2，得31即可求解.解因为l1l2，140，所以1340.又因为23，所以240.故应填上40.说明本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.图2图1F图3E图3例5 如图3，已知ABCD，130，290，则3等于（）A.60B.50C.40D.30分析要求3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过2的顶点作EFAB，由有1AEF，3CEF，再由130，290求解.解如图3，过2的顶点作EFAB.所以1AEF，又因为ABCD，所以EFCD，所以3CEF，而130，290，所以3903060.故应选A.说明本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例6 如图4，ABCD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，BEF的平分线交CD于点G，若EFG72，则EGF等于（）A.36 B.54 C.72 D.108分析要求EGF的大小，由于ABCD，则有BEF+EFG180，EGFBEG，而EG平分BEF，EFG72，所以可以求得EGF54.解因为ABCD，所以BEF+EFG180，EGFBEG，又因为EG平分BEF，EFG72，所以BEGFEG54.故应选B.图4BDGFCAE说明求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.课堂作业：如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.例7 已知：如图，ABCD，求证：B+D=BED。分析：可以考虑把BED变成两个角的和。如图5，过E点引 一条直线EFAB，则有B=1，再设法证明D=2，需证EFCD，这可通过已知ABCD和EFAB得到。证明：过点E作EFAB，则B=1（两直线平行，内错角相等）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 D=2（两直线平行，内错角相等）。 又BED=1+2， BED=B+D（等量代换）。变式1已知：如图6，ABCD，求证：BED=360-（B+D）。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的BED都是指小于平角的角，如果把BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EFAB，则B+1=180（两直线平行，同旁内角互补）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 D+2=180（两直线平行，同旁内角互补）。 B+1+D+2=180+180（等式的性质）。 又BED=1+2， B+D+BED=360（等量代换）。 BED=360-（B+D）（等式的性质）。变式2已知：如图7，ABCD，求证：BED=D-B。分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。证明：过点E作EFAB，则FEB=B（两直线平行，内错角相等）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 FED=D（两直线平行，内错角相等）。 BED=FED-FEB， BED=D-B（等量代换）。变式3已知：如图8，ABCD，求证：BED=B-D。分析：此题与变式2类似，只是B、D的大小发生了变化。证明：过点E作EFAB，则1+B=180（两直线平行，同旁内角互补）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 FED+D=180（两直线平行，同旁内角互补）。 1+2+D=180。 1+2+D-（1+B）=180-180（等式的性质）。 2=B-D（等式的性质）。 即BED=B-D。例8 已知：如图9，ABCD，ABF=DCE。求证：BFE=FEC。证法一：过F点作FGAB ，则ABF=1（两直线平行，内错角相等）。 过E点作EHCD ，则DCE=4（两直线平行，内错角相等）。 FGAB（已作），ABCD（已知）， FGCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 又EHCD （已知）， FGEH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 2=3（两直线平行，内错角相等）。 1+2=3+4（等式的性质） 即BFE=FEC。证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ABCD（已知）， 1=ABF（两直线平行，内错角相等）。 又ABF=DCE（已知）， 1=DCE（等量代换）。 BGEC（同位角相等，两直线平行）。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）。如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。证法三：（如图12）连结BC。 ABCD（已知）， ABC=BCD（两直线平行，内错角相等）。 又ABF=DCE（已知）， ABC-ABF =BCD-DCE（等式的性质）。 即FBC=BCE。 BFEC（内错角相等，两直线平行）。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）。题型三尺规作图例9 已知角和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长AB c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.图5cA图6ccBCP分析要作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长ABc，可以先作出底角B，再在底角的一边截取BAc，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.作法（1）作射线BP，再作PBQ；（2）在射线BQ上截取BAc；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC.则ABC为所求.如图6.AOBBO图7ADCDC例10 如图7，已知AOB和射线OB，用尺规作图法作AOBAOB（要求保留作图痕迹）.分析只要再过点O作一条射线OA，使得AOBAOB即可.作法（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D；（2）以O为圆心，同样长为半径画弧，交OB于点D；（3）以D为圆心，