抓住痛点，避免错误-复合函数的导数易错题案例两则【摘要】复合函数与抽象函数结合在一起，求导时法则的正确使用是一个教学的难点，学生易混易错。教 学时应讲清复合函数求导法则如何应用。【关键词】复合函数求导法则 抽象函数的导数复合函数与抽象函数结合在一起，一直以来都备受关注。而当抽象复合函数与导数问题 叠加在一起，又可以碰撞出怎样的火花呢？今天，我们就通过两个复合函数的求导问题来一 起探讨有关抽象复合函数的那些事。案例一：例：函数f (x)在R上满足f (x) = 2f (2 - x) -x2 + 8x- 8,曲线y二f (x)在点(l,f)处的切线方 程是。本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义。函数在某点的导 数值等于该点的切线方程的斜率。学生错解：令x = 1，代入已知得f=2 f (1)-1，所以f=1,因为 f (x) = 2 f (2 - x) - x 2 + 8 x - 8，求导：.f(x)二 2f (2 - x) - 2x + 8 , f(1)= 2f(1)+ 6 , .f(1)=-6所以线y二f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y-1二-6(x-1)，即y = -6x + 7。主要错误在于求切线斜率时涉及到复合函数f (2-x)求导时未能正确求导，由复合函数的求导 法则，还应再乘以(2 - x) =-1。对于这个痛点应该如何解决呢？我们可以从 f(x) 解析式或用复合函数的导数两个方向来正确解决该类问题。【解法一】：分析：先根据f (x) = 2f (2-x)-x2 + 8x-8求出函数f (x)的解析式，然后对函数f (x)进行求导， 进而可得到y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程的斜率，最后根据点斜式求出切线方程。 解：f (x) = 2f (2 - x) - x2 + 8x - 8，彳将 2 x 代入，彳得 f (2 x) = 2 f (x) (2 x)2 + 8(2 x) 8 联立，得 f (x) = x2 ， f(x) = 2x/. y = f (x)在(1,f (1)处的切线的斜率k = f (1)= 2，切点(1,1)， 所以线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y 1 = 2(x 1)，即y = 2x 1。【解法二】：对解法一的拓展分析：从函数结构入手，构造新函数解：t f (x) = 2 f (2 x) x2 + 8x 8 ,.f (x) x 2 = 2f (2 x) (2 x)2设 g (x) = f (x) x2，则上式化为g (x) = 2g (2 x),用 2 x 代入，得 g (2 x) = 2g (x),解得 g (x) = 0，即 f (x) = x2 又易知 f (1) = 1,f(l)= 2， 所以线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y = 2x 1。【点评】：本法找到已知条件中结构的特点，利用同构，求出 f(x)。【推广】本题解法过程中由g (x) = 2 g (2 x),得g (x) = 0。这个结论有一般性的推广。若抽象函数f (x)在定义域内满足g(x) = ng(2x x),(n丰0,n e R)，则g(x) = 0。0证明：因为g(x) = ng(2x x)，0用 2x x 代入，得 g (2x x) = ng (x)，00解得 g (x) = 0。【解法三】：分析：利用抽象函数的导数求出切线斜率解：f (x) = 2f (2 x) x2 + 8x 8，f (x) = 2f (2 x) - (2 x) 2x + 8 = 2f (2 x) 2x + 8，. f (1)= 2f()+ 6，. f (1)= 2 又令x = 1代入已知得f (1) = 2f (1) 1，所以f=1,所以线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y 1 = 2(x 1)，即y = 2x 1。案例二：设函数f (x)在(0, +Q内可导，其导函数为f(x)，且f (ln x) = x + In x，则f(1)=学生错解一：解：f (lnx) = 1 +1，/. f (lne) = 1 +1，即 f(1)= 1 +1。xee学生错解二：.1 = ln e/. f (lne)二 1 + -二 1 + -xef(l)= 1 +1e错解分析：依然是没有正确理解复合函数的求导公式。避免错误的办法仍是求出解析式或是 正确使用求导公式。【解法一】：换元求解析式设 t = ln x，贝卩 x = et,原函数化为 f (t) = et +1，所以 f (x) = ex + x , f (x) = ex +1，故f=e +1。【解法二】f (ln x) = x + ln xy = f (lnx)可看作y = f (t)和t = lnx的复合函数，原式两边对x求导，其中左边y = f (lnx)对x求导得，y = y t ，x t x即 y = f (t)丄=f (ln x)丄，xxx所以原式两边对x求导得，f (lnx)丄=1 + -xx:.f (lnx) = x +1，/. f (1)= e +1。结合上面分析，可以有以下例题供学生学习：例1：已知函数f (x)在R上满足f (4 - x) = 2 f (x) - 2 x 2 + 5 x，则曲线y = f (x)在点(2,f(2)处 的切线方程是( )A. y = - xB y = x 4C y = 3x-8D. y = 5x-12【分析】用 4 x取代x , f (4 (4 x) = 2f (4 x) 2(4 x)2 + 5(4 x),即 f (x) = 2 f (4 x) 2 x 2 + 11x 12 ,联立得f (x) = 2x2 7x + 4。下面常规求切线就可以了。那么能否不求解析式只利用复合函数的导数公式求解呢？本题也是可以的。解：f (4 x) = 2f (x) 2x2 + 5x ,对f (4 x) = 2 f (x) 2 x 2 + 5 x两边分别求导， 左边f (4 x) = f (4 x) (4 x) =-f(4-x) 右边2 f (x) 2 x 2 + 5 x = 2 f(x) 4 x + 5 故f (4 x) = 2 f(x) 4 x + 5令 x 二 2，则-f (2) = 2f-3，即 f (2) = 1 ；f =2f + 2, f=-2,所以曲线y = f (x)在点(2,f (2)处的切线方程是y = x-4。故选B。例 2：全国卷高考真题改编：已知 f (x) = ex -e-x - 2x ,(1) 求 f (x) ； (2) g(x) = f (2x) -4bf (x)，求 g (x)并因式分解。解：(1)f(x) = ex + e-x - 2(2) g (x) = f (2x)-(2x)-4bf(x)=2(e2 x + e -2 x 2) 4b(ex + e - x 2)=2(ex + e-x )2 2 2 4b (ex + e-x 2)=2(ex + e-x )2 - 4b(ex + e-x) + 8b - 8=2(ex + e - x 2)ex + e - x (2b 2)此法可应用在高考题中能简化计算，可不必求出解析式，直接使用复合函数的导数这个方法 求解。在对一些极值点偏移的问题中也有着广泛的应用。如例 3【2016年全国I卷21题】已知函数f (x) = (x-2)ex + a(x-1)2有两个零点.(I) 求a的取值范围；(II)设x， x是f (x)的两个零点，证明：x + x 0且x 1 x 1)，由复合函数求导公式，得h(x) = f (x) - f (2 - x) - (2 - x) = f (x) + f (2 - x)=(x-1)(ex +2a)+(1-x)(e2-x +2a) =(x-1)ex +(1-x)e2-x(x 1)e2( x-1) 1ex-2因为x 1，所以x-1 0， e2(x-1) -1 0， 所以 h(x) 0，所以h(x)在(1,+8)单调递增，所以h(x) h(1) = 0，即 f (x) f (2-x)，所以 f (x ) f (2-x )，所以 f (x ) f (2-x )。2 2 1 2因为x 1,2-x 1， f (x)在(-8,1)单调递减，12所以 x 2 - x ，即 x + x 2 。1 2 1 2小结：抽象复合函数求导题最佳策略是先求解函数解析式，再求导。若对不易求出解析式的抽 象函数，可利用复合函数求导法则分层求导。简单复合函数求导的一般步骤为“分解-求导 回代”，即（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；（2）利用求导法则 分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成原来的自变量。注意不要漏掉第（3）步回代的过 程。参考文献：朱成万 王红权至精至简的高中数学思想方法-30 讲破解高考反复考查内容2019.3