GPS高程拟合方法等值线图示法等值线图示法是最直接的求算高程异常的方法。这种方法的核心思想就是内 插的思想，绘制高程异常的等值线图，然后采用内插法来确定未知点的高程异常 值。具体操作十分的简单，在测区内制定分布均匀的GPS点，用水准测量的方法 来测定这些点的水准高，根据公式Z=H-Hr求出这些点的高程异常，选择适当的 比例尺按照已知点的平面坐标展会在图纸内，对已知点标注出高程异常值，再确 定等高距，绘制出高程异常值的等值线图。之后就可以内插出待测点的高程异常 值，进而求出待测点的正常高。这种方法只适用地形相对平坦的地方，在此种测 区内采用这种方法拟合的高程精度可达到厘米级。测区的地形相对复杂内插出的 高程异常值就不准确，而且这种内插法的精度往往取决于两个方面，分别是测区 内GPS点的分布密度和已知点大地高的精确度。首先GPS点的分布比较密集，那 么内插精度就相对较高，如果比较稀疏这时候就要借助于此测区的重力测量资 料，提高内插精度。且还要注意GPS点间高程异常的非线性变化。另外就是水准 点的精度，联测时尽量选取高精度的正常高，尽可能使得出的高程异常值准确， 进而才能内插出待测点高精度的高程异常值。这种方法虽然简单易操作，但是有 其弱点，就是精度不高，只有当对拟合精度要求不高的时候才使用此种方法（注： 等值线法不需构造数学模型）。狭长带状区域线性拟合解析内插法作为拟合高程最常用的方法，主要思想是把似大地水准面用数学 曲面近似拟合，建立所在测区内最为接近似大地水准面的数学模型，以此来计算 测区内任意点的高程异常值，从而计算出正常高。这种方法计算出的高程异常值 的精度是由所采用的数学模型和似大地水准面的拟合程度所决定的。解析内插法在选择数学模型时，首先要考虑的就是GPS点的分布情况。GPS 点的分布情况可分为带状分布和面状分布。若GPS点是呈线状布设，而且是以沿 线似大地水准面为一条连续且光滑的曲线，这时就可以采用相对于狭长带状区域 的解析内插法来内插出待定点的高程异常值，从而求出待定点的正常高。这种线 状分布的内插原理是：测区内已知水准点，用GPS测出其GPS高程，计算出已知 水准点高程异常值，根据已知点的平面坐标和计算得出的高程异常值，构造出一 个插值函数，这个函数是用来拟合GPS分布线上的似大地水准面的。用这个函数 内插出位置点的高程异常值。下面是两种用来拟合线状分布的 GPS 高程的内插 法。多项式曲线拟合法多项式曲线拟合是线状分布拟合的主要方法。多项式拟合顾名思义其插值函 数是一个m次的代数多项式，若高程控制点的高程异常为Z ,坐标为M （或芋i或 或拟合坐标或遇-工匚或i Q的函数关系为下式：匚1二山+；|+ Jr.昇31各高程控制点的已知高程异常与其拟合值之差为下式所示：I i=1 （x）i （i=0，1，2n）3-2上式我们称之为离差。（3-1）中引是拟合点到参考点（M,二）的直线距离，t为设定的常数值。在一般情况下都认为，“就是测区内已知点坐标的均值。多项式曲线拟合使用起来非常方便，但是它有自身的局限性，即是使用这种 方法的时候，所测路线不能太长，要限制控制点到测点的距离不能太远，通常把 距离控制在 300 米以内。这个要求是因为使用多项式曲线方法拟合似大地水准 面，如果它拟合的范围太大，点位的高程异常变化就越复杂，削高补低的方法不 能满足我们所要求的精度。随着多项式阶数的增大，也会使拟合出的曲线振荡的 更厉害，从而造成拟合的误差增大。这些造成了多项式曲线拟合的缺陷，但是在 路线较短的情况下，这种方法有足够的精度来拟合 GPS 点的正常高程。在式（3-1）中用m次多项式拟合似大地水准面，这个m的值如何取定，一般 情况下如果测区不是很长，地形相对平坦，那么我们通常取m取为3。也就是说 多项式为三次多项式。若测区比较长或者是测区地形比较复杂就要依情况而定， 增加多项式的次数，提高拟合精度。依上述分析m的取值主要和测区长度以及测 区的复杂程度有关。三次样条曲线拟合法三次样条曲线拟合法针对测线长，已知点多的测区 GPS 高程拟合问题。由上 述可以知道，当测线比较长已知点较多的时候，就需要构造高次的拟合多项式， 当m值比较高的情况下，会出现不稳定的现象，对求解高程异常值会有比较大的 影响，并且最小二乘法在求多项式系数中也会增大削高补低的误差，因此为了避 免测线长、已知点多这种情况下所出现的问题，通常采用分段拟合的方法，采用 三次样条函数拟合数学模型。这种方法很好的解决了因测线长而引起的问题。三次样条曲线的实质就是一个拼接而成的连续函数，在把测线分为多段的情 况下，每段设为三次多项式函数，然后将这些多项式函数组成三次样条函数。为 了计算准确，应用中要求这种构造的曲线不仅在连接点处函数要连续。而且还要 求这个函数的一级导数还有二级导数全部要是连续的，才能保证在分段之后构造 的三次样条函数后期运算中能够计算出准确的高程异常值。设过n个已知点，和右（或i或拟合坐标）在区间品，工-（i=1,2,n-1） 上有三次样条函数关系:Z（x）二Z（“）+ （xr ）Z（“，罔 一 ） + （x-）（.；- ）Z（x,育，划一 ）3-3式中，x为待定点坐标，ZGi,工-）为一阶差商, Z （逼，门-）=（I i - 1）/”-右）；Z （x，“，划-）为二阶差商，Z（x,也“ ）=：；、U +（x） +（馆），而 （x）（i=1,2,，n1），满足系数矩阵为对称三角阵的线性方程组gK ( )+2(冷 ，-込-iK - Gi) + Gi 十 ii) ;-Gi 十 1)=6 (x, ti )-Z (x, =i)34Z(M.)=：(s)=0用追赶法解上面方程组，可求出和Z(M,ti-)，而(x)=：、(M)+ (x-.i) 、 (,- )3-5这种做法有诸多好处，其中优点有三点：其一计算简便，其二保留了多项式 的优点，其三克服了多项式的缺点。多项式的缺点是单个多项式会有不灵活不稳 定的现象。由于三次样条曲线的种种优点，往往在实际中当遇到测线长已知点多 的情况下采用此方法拟合高程。曲面拟合法曲面拟合法是用于GPS点的分布在一定区域的时候，且可以选择数学曲面拟 合该区域的似大地水准面，构造适当的数学模型，计算该区域内的高程异常值， 然后求出正常高。这种拟合法的主体思想和曲线拟合法异曲同工的。具体思想是： 已知测区的若干已知水准点，并且用GPS测定这些点的高程，利用公式求得这些 点的高程异常，有了已知点的高程异常，已知点的平面坐标是已知的，所以利用 其平面坐标(x, y)和高程异常值Z构造出来的数学模型拟合最为接近于该测区 的似大地水准面，然后内插出未知点的高程异常值Z,进而求出正常高。多项式曲面拟合法测站点的大地咼H与正常咼h之间有如下关系:多项式函数拟合法的基本思想是在小区域GPS网内，将似大地水准面看成曲 面(或平面)，将高程异常表示为平面坐标(x，y)的函数，通过网中起算点(既进 行了 GPS测量又进行了几何水准联测的点)已知的高程异常确定测区的似大地水 准面形状，求出其余各点的高程异常，然后根据式(3-6)求出其他点的正常高， 其数学模型为：Z=f(x, y)+ 3-7式中f (x,y)是拟合的似大地水准面；是拟合误差，f(x, y) = c.+x + ：-y+；】；+ 日4xy+i+3-8x二B-民 y二LoBo二扭 BL扭 L其中：n为GPS网中点的数量，(B,L)为已知点的大地坐标，山，旳，號，：.， -，匪 为拟合待定参数；x，y为各GPS点的平面坐标的近似值，一般取起算 点的平面坐标减去网中全部点平面坐标的均值。1二次曲面拟合取(3-8)式中的一、二次项后将大地水准面拟合为：f (x，y)= c+x+ :-y+1：亍 +勺国xy+i,L 3-9即得二次曲面拟合模型：Z=.；，r，：,；_pJIT ,.： 、.： + 3-10每一个起算点可以组成一个上式，若共存在m个这样的起算点，则可列出m个方程：匚 I二山+,.-.I +，：i+；.i；,.ti+ +；.1.门+ 上 | 匚匚+i人汁：+.+：宀 汁芥+上；、尸兀+.iii+；ii+i：.S+| 门1匚1 +.-|.抚+ 上 1113-11从而组成误差方程：V=-Bx+L3-12L=JJ解得x=：匕h PL3-13解算出為即可求出网中其余点的高程异常，并利用式(3-6 )求出各未知点的 正常高 h。2多项式平面拟合在小范围或平原地区，可以认为大地水准面趋近于平面。此时，可选用公式3-8)的前三项，将大地水准面拟合为：f(x，y)=a0+a1x+a2y 3-14拟合模型为：Z=L|；l1 ：:.+ 3-15其中，ai(i=0,1,2)为未知参数，此时要求公共点至少3个。3多项式相关平面拟合：也叫做四参数曲面拟合，若选用公式(3-8)的前三项和第五项进行拟合，则 拟合曲面的表达式变为：f(x，y)=a0+a1x+a2y+a3xy 3-16拟合模型为：Z 二，Gi，.J 1:，: | + 3-17其中，a(i=0,1,2,3)为未知参数，此时需要公共点至少4个。i移动曲面拟合法移动曲面拟合法是一种局部逼近法，其基本思想是以每一个内差点为中心， 利用内差点周围数据点的值，建立一个拟合曲面，使其到各个数据点的距离之加 权平方和为极小，而这个曲面在内插点上的值就是所求的内插值。设P为内插的点，下面对P构造相应的曲面。本文取如下的二次多项式曲面为例：f(x，y)二卄-ix +，y+.i；j+，-_xy+.,318设选取数据点的坐标为 j Vi),i=l,2,，n； n6且设内插点P的坐标为将匕i, ：$i)改化到以P为原点的局部坐标系中，即：厂二 rT3-19形成新的坐标(.)，为移动坐标。任一点数据y )假设距离d的递减函数为:将(d)作为权函数，对每个数据点赋予权J i,这里门i不是代表数据点的 观测精度，而是反映该点与内插点的相关程度的大小。因此，权T确定的原则 应该与该数据点和内插点的距离订有关，：i越小，它对内插点的影响越大，贝V权 应越大。相反，越小，它对内插点的影响越小，则权应越小。最后，由最小二乘法解如下带权的极小值问题：Min 丨：1 J 丨二R3-21为了给出二次多项式曲面，式(3-18)的系数，那么这时需要选取P点周围的 数据点。当点数不够多时，则应扩大R的取值。现在这里由n个数据点的值，可 得到如下的方程式：、i=+ 冷+；厂门+,I泣；+j :、：+,I；-ii(i=1，2，,n) 3-22由此得系数诂(i=1,2,n),从而得到所对应的二次曲面方程，进而得到所求内插点的高程异常值。多面函数曲面拟合法多面函数拟合法的本质是数学曲面逼近的方法。其基本思想是用数学表面逼 近所测区域的大地水准面，通常认为任何表面，无论这个表面是否是有规则的， 都能通过一定的方法构造出来一个有规则的数学表面逼近其表面。通过构造数学 表面，用数学表达式高精度的逼近并且代替其真实表面。也就是说每个插值点都 可以和已知点建立起来相应的函数关系式，然后将这些函数关系式迭加在一起， 组成一个全新的函数关系式，那么称这个迭加函数为多面函数，由于这是每个插 值点与已知数据建立的函数关