4.2 自来水输送与货机装运 钢铁、煤炭、水电等生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或者利润最大? 各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等的限制，如何相互搭配装载，使获利最高，或者装箱数量最少? 本节将通过两个例子讨论用数学规划模型解决这类问题的方法. 例1 自来水输送问题 问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A，B，C三个水库供应. 四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水. 由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表1，其中C水库与丁区之间没有输水管道)，其他管理费用都是450元千吨. 根据公司规定，各区用户按照统一标准900元千吨收费此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨该公司应如何分配供水量，才能获利最多? 为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变? 公司利润可增加到多少?引水管理费(元/千吨)甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/表1 从水库向各区送水的引水管理费 问题分析 分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多而从题目给出的数据看，A, B, C三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900 (50 + 60 + 50) = 144000元，与送水方案无关. 同样，公司每天的其它管理费用450 (50 + 60 + 50) = 72000元也与送水方案无关. 所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可. 另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制. 模型建立 很明显，决策变量为A, B, C三个水库(i = 1, 2, 3)分别向甲、乙、丙、丁四个区(j = 1, 2, 3, 4)的供水量. 设水库i向j区的日供水量为xij，由于C水库与丁区之间没有输水管道，即x34 = 0，因此只有11个决策变量. 由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有Min Z = 160x11 + 130x12 + 220x13 + 170x14 + 140x21 + 130x22 + 190X23 + 150x24 + 190x31 + 200x32 + 230x33 (1) 约束条件有两类: 一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制. 由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为x11 + x12 + x13 + x14 = 50 (2)x21 + x22 + x23 + x24 = 60 (3)x31 + x32 + x33 = 50 (4)考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为30 x11 + x21 + x31 80 (5)70 x12 + x22 + x32 140 (6)10 x13 + x23 + x33 30 (7)10 x14 + x24 50 (8) 模型求解 (1) (8)构成一个线性规划模型(当然要加上xij的非负约束). 输入LINDO求解，得到如下输出: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2440000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 30.000000 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.000000 10.000000 X33 10.000000 0.000000(hyd注：REDUCED COST为各变量下界约束的影子价格. 例如对X11，若其下界从0提高到e，则目标Z的最优值会提高30e，其“价格”为30e/e = 30.) 送水方案为: A水库向乙区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50, 10 千吨，C水库向甲、丙分别供水40, 10千吨. 引水管理费为24400元. 利润为 144000 - 72000 - 24400 = 47600元 讨论 如果A, B, C三个水库每天的最大供水量都提高一倍，则公司总供 水能力为320千吨，大于总需求量300千吨，水库供水量不能全部卖出，因而不能像前面那样，将获利最多转化为引水管理费最少. 此时我们首先需要计算A, B, C三个水库分别向甲、乙、丙、丁四个区供应每千吨水的净利润，即从收入900元中减去其它管理费450元，再减去表1中的引水管理费，得表2净利润(元/千吨)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/表2 从水库向各区送水的净利润于是决策目标为Max Z = 290x11 + 320x12 + 230x13 + 280xl4 + 310x21 + 320x22+ 260x23 + 300x24 + 260x31 + 250x32 + 220x33 (9) 由于水库供水量不能全部卖出，所以上面约束(2)(4)的右端增加一倍的同时，应将等号改成小于、等于号，即x11 + x12 + x13 + x14 100 (10)x21 + x22 + x23 + x24 120 (11)x31 + x32 + x33 100 (12) 约束(5)(8)不变将(5)(12)构成的线性规划模型输入LINDO求解得到: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 送水方案为：A水库向乙区供水100千吨，B水库向甲、乙、丁区分别供水30, 40, 50千吨，C水库向甲、丙区分别供水50，30千吨总利润为88700元 其实，由于每个区的供水量都能完全满足，所以上面(5)(8)每个式子左边的约束可以去掉，右边的小于、等于号可以改写成等号. 作这样的简化后得到的解没有任何变化. 评注 本题考虑的是将某种物质从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小，或总利润最大. 这类问题一般称为运输问题，是线性规划应用最广泛的领域之一. 在标准的运输问题中，供需量通常是平衡的，即供应点的总供应量等于需求点的总需求量. 本题中供需量不平衡，但这并不会引起本质的区别，一样可以方便地建立线性规划模型求解. 例2 货机装运 问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓. 三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表3所示. 并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例.前仓中仓后仓重量限制(吨)10168体积限制(米3)680087005300表3 三个货仓装载货物的最大允许重量和体积 现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表4，最后一列指装运后所获得的利润.重量(吨)空间(米3/吨)利润(元/吨)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850表4 四类装运货物的信息应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大? 模型假设 问题中没有对货物装运提出其它要求，我们可作如下假设： 1) 每种货物可以分割到任意小； 2) 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 3) 多种货物可以混装，并保证不