椭圆定义及性质!-椭圆的定义与性质1 椭圆的定义(1) 第必定义：平面内与两个定点 F1， F 2 的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(2) 第二定义： 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e(0 eb0) 1(ab0)a2b2a2b2性质范围极点焦点准线轴焦距离心率a， b， c的关系对称性对称中心：原点 a x a b y b b x b a y aA1( a,0)， A2(a,0)A1(0， a)， A2 (0，a)B1(0， b)， B2(0， b)B1( b,0)， B2(b,0)F 1( c,0)F2(c,0)F 1(0， c)F2 (0，c)a2a2a2a2l1 ：x cl2：x cl1： y cl2： y c长轴 A1A2 的长为 2a短轴 B1B2 的长为 2bF 1F 2 2cce ，且 e (0,1)c2 a2 b2对称轴：坐标轴1 (夯基释疑 )判断以下结论的正误 (正确的打“”，错误的打“”)(1)动点 P 到两定点 A( 2,0)， B(2,0)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆 ()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2 组成 PF1F 2 的周长为 2a 2c(此中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距 )()!-(3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ()(4) 已知点 F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直线设 d 为平面内一动点P 到定直线 l 的5)距离，若 d |PF |，则点 P 的轨迹为椭圆 (4分析 (1) 错误， |PA| |PB | |AB | 4，点 P 的轨迹为线段AB； (2)正确，依据椭圆的第必定义知PF 1PF2a， F F 2c，故 PF F的周长为2a 2c； (3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁(4)正确，依据21212椭圆的第二定义答案 (1) (2) (3)(4) 2 (教材习题改编 )焦点在 x 轴上的椭圆x2 y2 1 的离心率为10，则 m _.5m5分析 2222c25 m1022答案 3由题设知 a 5，b m，c 5 m，e 2 ()， 5m 2， m3.a5553椭圆的焦点坐标为 (0 ， 6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_分析 椭圆的焦点在y 轴上，且 c6,2a 20， a 10，b2 a2 c2 64，故椭圆方程为 x2 y2 1.64100答案 x2 y2 164100x2y24(2014 锡质检无 )椭圆 4 3 1 的左焦点为F，直线 x m 与椭圆订交于点A，B，当 FAB 的周长最大时， FAB 的面积是 _ 分析 直线 xm 过右焦点 (1,0) 时， FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a 8，b2231答案 3此时， |AB| 2 a 2 3， S FAB 2 23 3.5 (2014 江西高考 )过点 M(1,1) 作斜率为1的直线与椭圆C：x2y22a2b21(ab0) 订交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 _22x1 y1 1，x1 x2 x1 x2y1 y2 y1y2a2b2 0，分析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则222b2x22aya2 b2 1，1y2212yx x. b2x xay y2121y1y2 1， x1 x2 2， y1 y2 2， b21，2x1 x22a2c22a2 2b2.又 b2 a2c2 ， a2 2(a2 c2)， a2 2c2， 2.答案 2a考向 1椭圆的定义与标准方程x2y2【典例 1】(1)(2014 国纲领卷改编全)已知椭圆C： a2 b2 1(ab0)的左、右焦点为F1、 F 2，离心率!-为3，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、 B 两点若 AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 _3(2)(2014 苏州质检 )椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x 4，则该椭圆的方程为 _分析 (1) 由条件知 AF B 的周长 4a 43， a 3.1c3x2y2e a 3 ， c2 b2 a2， c 1， b2.椭圆 C 的方程为3 21.a2 4，又 2c 4， c 2， a2 8， b2 4，(2) 椭圆的一条准线为 x 4，焦点在 x 轴上且 cx2y2x2y2x2y2该椭圆方程为 8 41.答案 (1)321 (2)841,【规律方法】(1) 一般地，解决与到焦点的距离相关问题时，第一应试虑用定义来解决(2) 求椭圆的标准方程有两种方法定义法：依据椭圆的定义，确立a2， b2 的值，联合焦点地点可写出椭圆方程待定系数法：若焦点地点明确，则可设出椭圆的标准方程，联合已知条件求出a， b；若焦点地点不明确， 则需要分焦点在x 轴上和 y 轴上两种状况议论，也可设椭圆的方程为Ax2 By2 1(A0，B0，A B)【变式训练 1】(1)(2013广东高考改编 )已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于1，2则 C 的方程是 _(2)(2014 苏州质检 )已知椭圆的方程是 x222 y 1(a 5)，它的两个焦点分别为F1，F2 ，且 |F1F2| 8，弦a25AB( 椭圆上随意两点的线段 )过点 F1，则 ABF 2 的周长为 _ 分析 (1) 右焦点F(1,0) ，则椭圆的焦点在x 轴上； c 1.又离心率为 c 1，故 a 2， b2 a2 c24 1 3，故椭圆的方程为x2 y2 1.a 2