初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD=PDA=15求证：PBC是正三角形（初二）2（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DEN=F3（10分）如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半4（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=PDA求证：PAB=PCB5（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长6（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t分求两根水管各自注水的速度7（10分）（2009郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值8（10分）（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设AP=x，PBE的面积为y求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值9（10分）（2010河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点（1）求k1、k2的值（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BCOD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CEOD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由10（10分）（2007福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD=PDA=15求证：PBC是正三角形（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。1097743专题：证明题。分析：在正方形内做DGC与ADP全等，根据全等三角形的性质求出PDG为等边，三角形，根据SAS证出DGCPGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可解答：证明：正方形ABCD，AB=CD，BAD=CDA=90，PAD=PDA=15，PA=PD，PAB=PDC=75，在正方形内做DGC与ADP全等，DP=DG，ADP=GDC=DAP=DCG=15，PDG=901515=60，PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），DP=DG=PG，DGC=1801515=150，PGC=36015060=150=DGC，在DGC和PGC中，DGCPGC，PC=AD=DC，和DCG=PCG=15，同理PB=AB=DC=PC，PCB=901515=60，PBC是正三角形点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求2（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DEN=F考点：三角形中位线定理。1097743专题：证明题。分析：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MGBC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得GNM=GMN，根据平行线性质可得：GMF=F，GNM=DEN从而得出DEN=F解答：证明：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MGN是CD的中点，且NGAD，NG=AD，G是AC的中点，又M是AB的中点，MGBC，且MG=BCAD=BC，NG=GM，GNM为等腰三角形，GNM=GMN，GMBF，GMF=F，GNAD，GNM=DEN，DEN=F点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GNM为等腰三角形3（10分）如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。1097743专题：证明题。分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证RtAERRtCAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ERPQFS，P是EF的中点，Q为RS的中点，PQ为梯形EFSR的中位线，PQ=（ER+FS），AE=AC（正方形的边长相等），AER=CAT（同角的余角相等），R=ATC=90，RtAERRtCAT（AAS），同理RtBFSRtCBT，ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，PQ=AB点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键4（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=PDA求证：PAB=PCB考点：四点共圆；平行四边形的性质。1097743专题：证明题。分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用ADEP，ADBC，进而得出ABP=ADP=AEP，得出AEBP共圆，即可得出答案解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，ADEP，ADBC四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，AEDP，BEPC，ABP=ADP=AEP，AEBP共圆（一边所对两角相等）BAP=BEP=BCP，PAB=PCB点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键5（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。1097743专题：综合题。分析：把ABP顺时针旋转90得到BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明PEC是直角三角形，从而得到BEC=135，过点C作CFBE于点F，CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长解答：解：如图所示，把ABP顺时针旋转90得到BEC，APBCEB，BE=PB=2a，PE=2a，在PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，PEC是直角三角形，PEC=90，BEC=45+90=135，过点C作CFBE于点F，则CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=a，在RtBFC中，BC=a，即正方形的边长为a点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键6（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t分求两根水管各自注水的速度考点：分式方程的应用。1097743分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解解答：解：设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分由题意得：解之得：经检验得：是原方程解小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分点评：本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解7（10分）（2009郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值考点：反比例函数综合题。1097743专题：压轴题。分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（2）因为P（1，2）为双曲线Y=上的一点，所以OBQ、OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（2，1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设