第六章 常微分方程 第六章 常微分方程6-3高阶线性方程6-3-1 高阶线性常系数方程的解6-3-2 Euler方程 第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解 考察阶线性常系数齐次方程 其中为实常数. 或记成 由上一段的讨论知道,方程在区间有个线性无关解,通解是这些解的线性组合。(一) 特征方程：l 若有形如的解，则必须是代数方程 =之根。这个代数方程称为微分方程的特征方程(characteristic equation). 特征方程的根称为特征根. (二) .特征根与方程解的对应关系.先以二阶为例说明结果： 微分方程: 特征方程： (1), 是特征方程的不等实根, 则 是方程的两个无关解. (2), 是特征方程的重根; 则 是方程的两个无关解. (3), 是特征方程的一对共轭复根, 则 是方程的两个无关解.其中用到结果： l 设 , 定义它的导数为. 如果复值函数 是齐次方程的解, 则 实部和虚部都是的实解.l 欧拉公式：对阶方程 (1). 设是特征方程的实根, 则是方程的实解. (2) 设是特征方程的一对单重复根, 则是方程的两个无关实解. (3). 设是特征方程的 重实根, 则是方程的个无关实解. (4). 设 是特征方程的一对 重复根, 则 是方程的2个无关实解. 由此可知：对应特征方程的个根，包括重根, 均能得到方程的个线性无关解. 例1:设为实数,求方程的通解. 解: 特征方程为. 1.,此时特征方程有一对单重复根 , 方程有两个无关解 . 因此方程的通解为 . 2. , 此时特征方程有一个二重根 . 方程有两个线性无关解 , 于是方程为. 3. ,时特征方程有两个单重根 . 方程有两个线性无关解 , 且方程通解为 . 例2: 求方程 的通解. 解: 特征方程为. 它有四个单根. 该方程有四个线性无关解. 因此方程通解为 . 例3 :求方程通解. 解: 特征方程 有一个三重根 . 于是方程有三个线性无关解 , 所以通解为 . 例4:求方程通解. 解:特征方程.它有一对二重复根. 于是该方程有四个线性无关解. 所以通解为 .6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 其中为实常数, 是已知连续函数. 方程可记成：. 若相应的齐次方程 的一般解是：, 因此,如果又能够求得的一个特解, 就能够写出其通解: 一般情况下可以用常数变异法根据的通解求出 的一个特解. 但对于 右端函数 属于某些简单类型时,可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解. 下面我们以二阶方程为例说明这种方法. 对于高阶方程也可以类似地求解. 考察二解线性常系数方程 = 假定右端函数具有形式 其中是的一个多项式. 比较系数法的出发点是假定方程有一个形如 的解, 其中是的一个多项式. 问题是如何确定的次数和系数.根据解的概念 , 将 代入方程, 只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出, 从而求出非齐次的一个特解. 由(3.19)得到 将 代入方程, 得 (*) 下面分三种情形讨论. (1) 当不是特征根时, 即 (*) 左端是 一个次数与相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多项 式次数相等, 应当是一个与次数相同的多项式. (2) . 当是特征根, 但非重根时, 即 , (*) 左端是 一个次数与相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多 项式次数相等, 应当是一个比次数高一次的多项式. 此时可以取 , 这里是一个次数与相同的多项式. (3) . 当是特征堇根时, 即 , (*) 左端是 . 于是为了使(*) 两端多项式次数相等, 应当是一个比次数高二次的多项式. 此时可以取 , 例5:求方程的通解. 解: 间方程写作 . 因为是特征方程的单根,所以应当寻找方程形如 的特解.将这个解代入原方程得到 比较两端同次项的系数得到. 解这个方程组得到. 从而得到原方程的一个特解. 又求得相应的齐次方程的通解 .所以方程通解为. 例6: 解方程. 解: 是特征方程的重根, 设特解为 将这个解代入方程得到. 比较系数得到. 于是得到方程的一个特解. 相应地齐次方程的通解是. 因此原方程的通解为 . 例7:解方程 , 解1:考虑方程 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解. 现在首先求解方程 , 由于虚数不是 特征方程的根, 所以对于此方程 应当寻求形如 的特解(为实常数).将这个解,比较系数, 得到 . 由此得到, 于是求出 的一个特解为 . 它的实部,就是题设的一个特解. 另外又求得相应的齐次方程的通解, , 因此所求之的通解为 . 解2: 形如 (其中为多项式,为常数.)的方程, 可以直接用比较系数法求解 例8:求方程 (3.25)其中为常数. 解:此方程对应的齐次方程的通解为. 1. . 2. 若, 则是特征根, 并且是单重根,此时 , 从而方程通解是. 例9:求方程的一个特解. 解:考察以下两个方程:, .用比较系数法分别求出这两个方程的特解:.于是这两个解之和就是原方程的一个解:.6-3-2 Euler方程形如 的方程称为Euler(欧拉)方程.其中为常数. 从解的存在唯一性条件看, 对于这种方程, 由于系数分别在和中连续，因此应当分别考虑和的情形. 为方便计，我们只考虑的情形。且以二阶为例: .(1) 观察待定法l 由方程特点观察，方程可能有形如幂函数的解，可令解为：,再代入方程, 得：, 特征方程：l 特征根与解的对应关系：单实根：;实重根: 共轭复根：(2) 变量置换法从前面结果可以看到，若作代换, 可以将上述方程化为未知函数的常系数方程. 因为：;.代入原方程,即可得：. 例12:解方程. 解.于是方程通解为即.6-3-3 曲线簇的微分方程 6-3-4 振动问题 设一质量等于的小球 被弹簧吊着，从平衡状况开始, 在空气中作垂直方向的振动. 用表示质点 在时刻的位置. 质点 在运动过程中受到两个力的作用: 弹簧恢复力, 与位移成正比,方向与位移相反的力(为常数); 力是空气阻力, 它与速度成正比, 方向相反, (是常数). 又假定弹簧在运动过程中受到沿轴方向的外力作用. 由Newton第二定律得到弹簧的运动方程为 为了讨论方便,我们将上述方程改写成下面的形式: 除了弹簧振动外,许多运动,例如钟摆的往复运动,机械振动,电路振荡都可以用这个方程作为其数学模型.有无外力,我们分为几种情形讨论. (一) .自由振动: 即无外力作用() 1. 无阻尼自由振动 当阻尼系数时,有.此时方程(4.29)变成 其通解为或者 因此,不论初始位置和初始速度是什么, 运动规律总是一个正弦函数.其周期等于, 振动频率与初始位置和初始速度无关.和分别是振幅和初始位相,(它们由初始位置和初始速度决定). 2.有阻尼自由振动 当阻尼系数时,方程 (3.30)变成 其特征方程为,特征根为.这时又可以分三种情况: (1)小阻尼自由振动:.此时特征根为,其中.因此 的通解为 上式表明,这是一个随时间增长而衰减的振动. 其中周围仍然与初值无关. (2) 临界阻尼振动: .此时特征根为,方程 的通解为 其中.由(4.34)知道,此时是一个衰减运动,不发生振动. (3)大阻尼自由振动:.此时两个相异特征根均为负数,方程(3.32)通解为 因此这时仍然是衰减运动,不发生振动. (二) .强迫振动, 即不恒等于零.通常 假定弹簧只受到周期外力 的作用. 1.无阻尼强迫振动 此时方程(3.29)变成 并且方程的通解为.这时又可以分为三种情形考虑:(1) 当即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解 , 因此通解为 .这是一个由固有振动(齐次方程通解)和外力迭加而成的有界振动. (2)当 即外加频率等于于固有频率时, 用待定形式解通过比较系数法得到一个特解为 . 于是方程通解为 由此可以看出, 虽然外力是有界的,但是的振动却是无界的,因为当, 式中的右端第二项的振幅趋向于无穷大. 这就是物理学中著名的共振现象,即小的外力导致大的振动. 2.有阻尼强迫振动 我们仅讨论小阻尼情形:.此外方程变成 . 并且)相应的齐次方程的通解为 .又用比较系数法得到非齐次的一个特