浅析车灯线光源的计算引言2005年4月8日，我结束了到潞城四中的应聘，乘中巴车行驶在长治返回榆次的途中。到下午5点钟天下起了雪，夜幕渐渐的降临。雪变成了雨，我乘坐的车恰恰前灯不太亮，就这样不幸的事发生了回到学校,我深思了很久决定选：浅析车灯线光源的计算为本科毕业论文题目。希望它能为我们的社会挽回一点损失，避免一些不幸重演。该理论曾在2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目的A题和C题讨论过。参赛的有关学生对此做出了不同的理解。而在汽车车灯生产厂家所用的理论则出于商业秘密，不向外公开。针对本论题，本文计划讨论如下四个问题：一、车灯线光源长度的确定方法；二、直射光总功率与反射光总功率之比；三、计算测试屏上直射光的亮区；四、计算测试屏上反射光的亮区。第一章 问题的提出安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。本文将解决下列问题： 在满足该设计规范的条件下，请提出确定线光源长度的方法。 计算直射光总功率与反射光总功率之比。 计算测试屏上直射光的亮区。 计算测试屏上反射的亮区。第二章 基本假设、符号说明以及有关物理定律2.1基本假设1、反射面为光滑曲面，反射光线将不发生衍射，无能量损耗。2、根据汽车制造业的惯例，车灯设计中只使用几何光学的光路追迹法，物理光学理论中的干涉衍射及色散等因素对光能量的影响不予考虑。则空间一点的光强度与通过该点的光线数目成正比且不受光程影响。3、线光源能量分布均匀线光源上任意一点光源发射的光强度均等，功率密度一定时总功率与长度成正比。4、假设测试屏竖直且充分大。5、设线光源的宽度不计。2.2符号说明表2.2-1符号含义光强度光通量d线光源长度P线光源总功率P1直射光总功率P2反射光总功率线光源空间功率密度2.3物理定律2.3.1光的直射定律光在均匀介质中是沿直线方向传播的；2.3.2光的反射定律反射光线、入射光线和法线在同一平面上，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角；2.3.3光路可逆原理由该原理可的以下两定理：定理1：设从线光源正向光路追迹到屏上点的光线与抛物面上的作用域的范围为（若作用域为一个个离散点则代表点集），从屏上点发光追迹到线光源的光线与抛物面的作用域的范围为/（若作用域为一个个离散点则/代表点集），则有=/定理2：当光源发光光强一定时，接收面上的光强度等于面上各微元面收到的光线数目之和成正比。证明：光通量 为通过某一截面的光线的条数n/。光强度I与光通量d的关系为： （d为立体角） 光强度I与光能量E的关系为： 由知：要使收集的光线数目n具有可比性，需使不同光源发光强度I相等由得 所以 这里ds/为法线方向为光线方向的微小面积元，ds为接收面上的微小面积元。证明完毕。第三章 问题的解答3.1线光源长度的确定方法3.1.1问题分析此问题的难点在于对于抛物面这样一个旋转对称的曲面，只有对称轴上的点才具有这样的对称性，而非轴上点（即线光源上除焦点以外的所有点）对抛物面存在一个离焦的问题。那么如果想从理论上寻找一些简化的光路表达式，不是一件容易的事。因此我们的主要方向在于寻找能够降低计算量的办法。3.1.2光路逆向与双向光路追迹的提出为了确定光线与抛物面的作用轨迹，追迹从线光源发出到达屏上的光线需要在整个旋转抛物面上求解，而若光路逆向（即假设B、C两点为总能量均为K的点光源，而原线光源为长度为a的线接收器，B，C发出的光线经过抛物面反射后部分落在线接收器），由于屏与抛物面相隔距离很远，从屏上点光源发出的光线追迹时 只需取空间一个很小的立体角就能够分析完全可能照射到抛物面上的所有光线。则我们初步推测如果能够合理利用逆向追迹的这点，就能够对降低计算量做出贡献。反射函数光线非均匀到达光线均匀到达图 光线非均匀到达反射函数光线均匀发射图 逆向求解时“倒置”了光源，此时光线在全空间的强度分布产生了变化， 图，图两图反映了光源倒置前后的光能分布变化。可见通过O、N两点的光线疏密程度均发生了改变，而从现有数据无法计算出“光源倒置”前后的全空间能量分布具体变化情况，即单独用逆向法不能够得出正确的能量关系，也就不能解决第一问所提出的问题。但又由定理1，此方法能够求解出线光源上的光线与抛物面的作用域。综合考虑逆向法的优越性及局限性，使用光路正、反双向追迹法是合理的，鉴于此，我们提出了双向蒙特卡罗光路追迹法。3.1.3蒙特卡罗光路追迹法说明蒙特卡罗光路追迹的过程是，认为点光源射出的是分布均匀的光线（即光源发出一批总数目为N，N极大的均匀光线），然后把接收面细分为矩形小方格，光线最终被收集到一个个的矩形小方格内，由定理2，点光源发光为等光强度发光，可用接收面上接收的光线数目n衡量接收面能量强弱，也即到达每个矩形小方格的光能值依赖于小方格所收集到的光线的数量。方格越小对光能描述得越好。需要声明的是，蒙特卡罗法本身是随机地产生点数，在计算点光源发光时一般追迹的光线数目为上万条，当光线数目如此密集之后，这样实际上光源所追迹的光线已经均匀化。基于此，我们在下面的理论及计算中，都假设光源发出均匀光线，而不是随机生成光线。3.1.4双向蒙特卡罗光路追迹法依据上述分析，我们建立了双向蒙特卡罗光路追迹法，此理论中各向的追迹均采用蒙特卡罗光路追迹。 第一步（逆向过程）：把屏上的点看作发光点，进行光路逆向，对屏上一点所发出光线进行光路追迹，得出落在线接收器上的光线与抛物面的作用域范围/； 第二步（正向过程）：根据第一步所得的/，依据定理1，采用正向光路追迹，即线光源上各点发光，此时，求解范围被限制在了/内。对此区域求得落在屏上对应点的光线分布，也即光能量分布。此两步一正一反，故称为双向蒙特卡罗光路追迹法。相应的，我们也可以定义逆向蒙特卡罗法，就是只采用上面第一步里的逆向运算。3.1.5双向追迹的优越性在第一步中屏上点发出的光线只需追迹与抛物面相交的很小的一块空间区域，计算量比起不使用逆向追迹有少量增加；在第二步中，由于有了第一步所得的作用区域，大大减少了正向追迹时光线的求解范围。两者综合作用，其反向追迹增加的计算量与正向追迹减少的计算量相比，小到可以忽略不计。比起只用正向求解，总体速度得到很大的提高。3.2直射光总功率与反射光总功率之比3.2.1计算方法一利用直射光和反射光对应的空间角之比，求其功率之比。由题意分析我们可把线光源看作点光源来研究。以线光源为原点，旋转抛物面的中心对称轴为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系：图 图 则直射在半径为r的球面上的面元为，用平面ZOY截旋转抛物面所得的图形在ZOY坐标系中如图所示，O1为Z轴与旋转抛物面开口所在平面的交点，则直射光在半径为r的球面上照射的面积为直射光对应的空间角为反射光对应的空间角为因为线光源能量公布均匀，将其作点光源后，其在单位空间角的功率均相等。则直射光与反射光总功率之比由已知条件可知，旋转抛物面的方程为X2+Y260Z，焦点坐标为F（0，0，0），则代入数据可得：3.2.2计算方法二在上一节的基础上，我们不难想象将点光源都放置于球心位置，它直射到球上的面积显然为一球冠的表面积。将直射面积与反射面积作比，这样就可将功率比问题转化为球缺与球冠表面积之比。图 由球冠表面积公式可得，其功率比=表面积比=球缺与球冠高比，这样问题就转化为球缺与球冠的高的比，问题就简单化了。我们对图形进行分析，在求高的过程中可以将其转化为平面图形来处理。我们以线光源的中点为原点，取线光源所在直线为Y轴，旋转抛物面的中心对称轴为Z轴建立空间直角坐标系。取YOZ截面，在YOZ坐标系中以线光源上任一点为圆心，以到开口圆的最大距离为半径做圆，如图所示：直射区球冠的高（BQ1BN）BQ1（cos）另一部分球冠高（BQ1BN）BQ1（cos）很显然它们之比等于即直射光总功率P1与反射光总功率P2之比可将线光源看作是由一个点光源在B1B2上做上下重复运动。 当点光源移动到B1时，即B1为点光源。显然BQ1为圆的半径，EBQ1,在QBN中已知三边长，用余弦定理可得出，从而可求出值，即可解得。 同理，当点光源移动到B2时，结果同上。当点光源移动到焦点F时通过对点光源依次移动情形的计算比较，可得它们的总功率比值在0.693694846，0.694444444，误差很小。所以，最终我们对这个区间均匀求值。得出最终结果： 3.2.3计算方法三将线光源进行分割，用微元法计算直射总功率和反射光总功率之比。坐标系的建立同上一节，取其YOZ平面，在YOZ坐标系中，在线光源上任取一微元dy，用B表示。取最长半径BQ1为直射光对应的空间球面半径，则其对应的空间角为其中 则直射光的总功率为反射光的总功率为 代入数据得 3.2.4三种解法的启示方法一是物理中常用到的方法，它将物理模型在合乎实际的情况下适当简化，即将车灯线光源理想化为一点光源，使计算大为简化，体现了物理思想的微妙，给人一以说不出的美感。方法二也是物理中常用到的方法，它将数学中的分割思想引入实际问题，结合物理的有关知识进行分析，取其极端，从而较好的确定出的范围。物理中在处理变化范围问题时经常用到该方法。方法三体现了数学对物理处理问题的重要性。在处理实际问题中时，我们经常利用数学工具并结合正确的物理思想，使问题得到圆满解决。总的看来，在解决物理问题时，光靠合理的简化并不能较好的解决问题，还必须借助数学这一工具。从上述三种解法我们不难体会到数学和物理的结合之美。图 3.3直射光的亮区3.3.1线光源上任一点光源的直射光亮区本节将证明线光源上任一点光源发出的光线直射到测试上形成的亮区为一圈形区域。如图所示，在线光源上任取一点B1，在旋转抛物面的开口边缘上任取两点E、Q。01为Y轴与旋转抛物面开口平面的交点。连接B1O1并延长交测试屏与O2点。连