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函数与导数专题 1.在解题中常用的有关结论(需要熟记):(1)曲线在处的切线的斜率等于,切线方程为(2)若可导函数在 处取得极值,则。反之,不成立。(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:恒成立(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。(若为二次函数且I=R,则有)。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立(7)若,恒成立,则; 若,恒成立,则(8)若,使得,则;若,使得,则.(9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有(10)若对、 ,恒成立,则.若对,使得,则. 若对,使得,则.(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,若对,,使得=成立,则。(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 考点一:导数几何意义:角度一求切线方程1(2014洛阳统考)已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x,af,f(x)是f(x)的导函数,则过曲线yx3上一点P(a,b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10解析:选A由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin 2x2cos 2x,则af32sin2cos1.由yx3得y3x2,过曲线yx3上一点P(a,b)的切线的斜率k3a23123.又ba3,则b1,所以切点P的坐标为(1,1),故过曲线yx3上的点P的切线方程为y13(x1),即3xy20.角度二求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10,则点P0的坐标是()A(0,1)B(1,1)C(1,3) D(1,0)解析:选C由题意知y14,解得x1,此时41y10,解得y3,点P0的坐标是(1,3)角度三求参数的值3已知f(x)ln x,g(x)x2mx(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f(1),则m等于()A1 B3C4 D2解析:选Df(x),直线l的斜率为kf(1)1,又f(1)0,切线l的方程为yx1.g(x)xm,设直线l与g(x)的图像的切点为(x0,y0),则有x0m1,y0x01,y0xmx0,m0,当x(ln 2,)时,g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220,f(x)0,x10得,x;由F(x)0得,x0),f(x)x5.令f(x)0,解得x12,x23.当0x3时,f(x)0,故f(x)在(0,2),(3,)上为增函数;当2x3时,f(x)0,x1.当0x0;当x1时,f(x)0,f(x)在区间(1,)上为增函数,不合题意当a0时,f(x)0(x0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0),即x,此时f(x)的单调递减区间为.由得a1.当a0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0),即x,此时f(x)的单调递减区间为.由得a.综上,实数a的取值范围是1,)针对训练(2014荆州质检)设函数f(x)x3x2bxc,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1.(1)求b,c的值;(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)f(x)2x,且g(x)在区间(2,1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围解:(1)f(x)x2axb,由题意得即(2)由(1)得,f(x)x2axx(xa)(a0),当x(,0)时,f(x)0,当x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(,0),(a,),单调递减区间为(0,a)(3)g(x)x2ax2,依题意,存在x(2,1),使不等式g(x)x2ax20成立,即x(2,1)时,a0,f(x)为(,)上的增函数,所以函数f(x)无极值当a0时,令f(x)0,得exa,即xln a.x(,ln a),f(x)0,所以f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,故f(x)在xln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)ln a,无极大值综上,当a 0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在xln a处取得极小值ln a,无极大值针对训练设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x),若函数yf(x)的图像关于直线x对称,且f(1)0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值解:(1)因为f(x)2x3ax2bx1,故f(x)6x22axb,从而f(x)62b,即yf(x)关于直线x对称从而由题设条件知,即a3.又由于f(1)0,即62ab0,得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1,所以f(x)6x26x126(x1)(x2),令f(x)0,即6(x1)(x2)0,解得x2或x1,当x(,2)时,f(x)0,即f(x)在(,2)上单调递增;当x(2,1)时,f(x)0,即f(x)在(1,)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21,在x1处取得极小值f(1)6.考点五 运用导数解决函数的最值问题 典例已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0),当a0时,f(x)a0,即函数f(x)的单调增区间为(0,)当a0时,令f(x)a0,可得x,当0x0;当x时,f(x)0,故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)当1,即a1时,函数f(x)在区间1,2上是减函数,f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2,即0a时,函数f(x)在区间1,2上是增函数,f(x)的最小值是f(1)a.当12,即a1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a,当aln 2时,最小值是f(1)a;当ln 2a1时,最小值为f(2)ln 22a.综上可知,当0a0),若函数f(x)在x1处与直线y相切, (
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