第一章 数与计算第一单元 同余问题1 知识前提。（1） 整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除a。（2） 乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即，记做。其中a叫做底，n叫做指数，读做a的n次方。（3） 幂的运算法则： 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即 。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 。 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即 。2 同余如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a=h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。3 规律、方法应用。（1） 反身性规律：a和a对于m同余。（2） 对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。（3） 传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么ac，和bd，ac和bd，ac和bd对于m同余。（5） 同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么和也对于m同余。（6） 同余的连加规律：和对于m同余，和对于m同余，和对于m同余和对于m同余，那么和也对于m同余。例1 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?拓展二 自然数16520,14903,14177除以m的余数相同, m的最大值是多少?拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例2求除以7的余数。拓展一 求除以13的余数。拓展二 求除以11的余数。拓展三 求的结果除以3的余数。拓展四 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个试求A除以9的余数。例3被7除的余数是多少？拓展一 除以13的余数是多少？拓展二 今天是星期日，过天是星期几？拓展三 求的末两位数是多少？拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）检测1已知69,90,125被除余数相同，求81被N除的余数是（）1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是( )231317183除以13的余数是（ ）12 11974除以3所得的余数是（ ）1 2035 今天是星期二，再过天是星期（ ）三 四五六6 的个位数字是（ ）3 2 467 的个位数字是（ ）3 1 968 的个位数字是（ ）3 1 959 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（ ）个。17 198 34 5110 一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（ ）。345 121 150 26711 一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（ ）。157 253 942 47112 用1，9，8，8这四个数能排出（ ）个被11除余8的四位数。3 4 5613 的积被7除的余数是（ ）。1 2 35二解答题。14试证明：能被10整除。15 求乘积除以13所得的余数。16 今天是星期五，再过天是星期几？17 求除以39所得的余数。18 求的个位数字。19 除以13余几？20 试证明：是5的倍数。21 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问最右边的一个数被6除余几？22 2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二）23 某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？24 甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25 设A是一个有35位循环节的循环小数，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：再把的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：如此继续下去，能否仍得到原来的循环小数？第二单元 分数的大小比较比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：1 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。2 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。3 交叉相乘法。分数和，如果，那么。4 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。5 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。例1 比较、这四个分数的大小。拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。， 拓展二 ，。试比较A和B的大小。 拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。 ， 拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。 、例2 比较，三个分数的大小。拓展一 比较和的大小。拓展二 比较和的大小。拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。 ，例3 ，试比较A与0.003谁大谁小。拓展一 如果，试比较A与的大小。拓展二 用A表示下面的积：，问：A与0.01相比,谁大谁小?拓展三 比较与0.001的大小.检测1 在中填入“”或“”。（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）2. 比较和的大小。3. 把、和按从小到大的顺序排列。4. 在，五个分数中，最大的分数是谁？5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。、。6. 比较和的大小。7. 把、按从小到大的顺序排列。8. 下面四个算式谁最大。（1） （2）（3） （3）9. 下面两个算式谁大谁小？ ；10. 把下面五个分数从大到小排列。 、。11. 在、中，哪个分数最大？12. 比较、的大小。13. 和，谁大谁小？14. 按下面各式值的大小，把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。15. 满足下面式子的最小是多少？16. 试比较和的大小。17. 如果，那么中应填哪个自然数？18. 已知：，将A、B、C三个数从小到大排列。19. 在下式中的内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立。 20. 下面给出6个分数算式： ，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。第三单元 速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。1 运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。23 （1） （2） （3） （4）（5）将分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数和，然后分子、分母分别乘，再拆分，最后进行约分。4. 等差数列求和法：（首项+末项）项数和。5. 约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。例1 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 拓展四 计算拓展五 计算 例2 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 例3 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 拓展四 计算 例4 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 拓展四 计算 计算下面各题：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22. 已知， 求23.24.25.26.27. 减去它的，再减去余下的，再减去又余下的，依此类推，一直减到最后余下的，最后得多少？第二章 有关的分数应用题第一单元 单位“1”的妙用解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。知识、规律、方法在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1”，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1”，然后进行解答。例1甲、乙两数之和为180，甲数的等于乙数的，问甲、乙两数各是多少？拓展一 甲、乙两数相差30，其中甲数的与乙数的相等，求这两个数的和是多少？拓展二 上元水果店运来的苹果比橘子多1筐，其中苹果筐数的与橘子筐数的相同，上元水果店一共运来苹果和橘子多少筐？拓展三 学校有皮球和足球共100个，皮球个数的比足球个数的多16个，学校有皮球和足球各多少个？例2某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的，乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的，已知丙车间捐款180元，这三个车间共捐款多少元？拓展一 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的，老三修了另外三人总数的，老四修了91米，问这条路全长多少米？拓展二 把一堆皮球分装在四个