包含与排除 涉及互相重复的两类或三类对象的计数问题解题可利用计算所有对象总个数的容斥原理，以及图示包含与排除关系1某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加那么有多少人两个小组都不参加?【分析与解】 至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人，所以有40-23=17人两个小组都不参加2某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人那么语文成绩得满分的有多少人?【分析与解】 数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人350名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1，2，3，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名? 【分析与解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数 150之间，4的倍数有=12,6的倍数有=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有=4于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师4在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下：标签号为2的倍数，奖2支铅笔；标签号为3的倍数，奖3支铅笔；标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；其他标签号均奖1支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 【分析与解】 1100，2的倍数有=50，3的倍数有=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有=16个 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1100中有100-50-33+16=33 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：502+333+331=232支.5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断问绳子共被剪成了多少段? 【分析与解】 只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数 从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号 有1180，3的倍数有=60个，4的倍数有=45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有=15个注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅? 【分析与解】 将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级， 那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)2=3幅7有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张那么，这些卡片一共有多少张? 【分析与解】 设这些卡片的总数为“1”，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数 所以有，解得“1”对应36张即这些卡片一共有36张8在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个? 【分析与解】 l1000之间，5的倍数有=200个，7的倍数有=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有=28个所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个9五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人求这个班的学生人数 【分析与解】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C =25，=35，=27，=12， =8，=9，=4. =. 所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项即这个班有62人10如图8-1，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73求阴影部分的面积【分析与解】 设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C=30，=6，=8，=5，=73， 而=. 有73=303-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(部分面积)为2 那么只是甲与乙()，乙与丙()，甲与丙()的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(、部分之和)的面积为73-4-6-3-2=5811四年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人求参加文艺小组的人数 【分析与解】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G三者都参加的学生有z人 有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10 因为，所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人 那么参加文艺小组的有37=21人12图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? 【分析与解】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C =33, =44，=55，=29，=25，=36 本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可 ,当最大时，有最大值. 也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多 而最大不超过、 6个数中的最小值，所以最大为25此时=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过13如图8-2，5条同样长的线段拼成了一个五角星如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个? 【分析与解】 如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有19945-(2-1)10=9960个14甲、乙、丙同时给100盆花浇水已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆? 【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆15甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个? 【分析与解】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个； 欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个 评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续