二次函数基础知识盘点二次函数是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。一、二次函数的系数与抛物线的特征1. 的符号确定抛物线的开口，时开口向上；时开口向下。2. 的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当（即）时，对称轴在轴的左方；当（即）时，对称轴在轴的右方，特殊地，当时，轴为抛物线的对称轴。当的符号与对称轴的位置确定时，可以确定的符号，例如，对称轴在轴的右方时，若，则；若，则。3. 的符号确定抛物线与轴的交点位置。时，交点在轴的正半轴上；时，交点在轴的负半轴上。特殊地时，抛物线过原点。又若时，抛物线的顶点在原点。4. 的符号确定抛物线与轴的交点个数。时，有两个交点；时，只有一个交点，抛物线的顶点在轴上；时，没有交点。例如，二次函数的图象如图所示，则，（），。二、二次函数与二次方程之间的关系二次函数中，当时，转化为方程，当抛物线与轴有交点时（），可以解二次方程，求得抛物线与轴的交点坐标，并且由图象可以确定当取何值时或。例如，二次函数中，令，得或，抛物线与轴交于，两点（如图2）。当或时，；当时，。三、二次函数的恒等变形。这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方面的作用：1. 可知抛物线的顶点坐标为；2. 可知抛物线的对称轴为；3. 可知二次函数的最大值或最小值，当时，有最小值；当时，有最大值；4. 可以确定为何值时，随的增大而增大，或随的增大而减小；5. 便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与轴的两个交点，与轴的交点及该点关于对称轴的对称点）；6. 有利于按照要求平移抛物线。例如，二次函数，可通过配方变形为。由此可知抛物线的顶点坐标为；对称轴为；当时，函数有最小值；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；取五点：，可以作出此二次函数的图象（如上图）；将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数的图象。四、二次函数解析式的确定二次函数一般有三种形式：1. 一般式：；2. 顶点式：，为抛物线的顶点；3. 交点式：，为抛物线与轴交点的横坐标。解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。例1 如图，二次函数的图象过点和点，且与轴交于正半轴，给出下列四个结论： 其中正确结论的序号是_。解：由图象可知，（），。又由图象可知，对称轴，即。，即。图象过点和，二式相加得，。，。正确结论的序号是。例2 已知抛物线经过、两点。求此抛物线的解析式；求抛物线与轴的交点坐标；求抛物线的顶点坐标和对称轴方程；画出此抛物线的图象；当取何值时，？当取何值时，随的增大而增大？将此抛物线沿轴方向向右平移个单位，再沿轴方向向下平移个单位，求平移后的抛物线的解析式。解：抛物线过和，即解得。解，即，得或。抛物线与轴交于和。抛物线的顶点坐标是，对称轴是。抛物线过、诸点，图象如图。当和时，。当时，随的增大而增大。平移后的解析式为，即。二次函数的图象知识总结【知识梳理】一、图象平移示意图一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k的图象y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移二、图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x- h）2+k的形式 即图1y=ax2x y O y= a（x ）2y= a（x ）2+ y=ax2bxc = a（x2x）= a x22x（）2（）2= a（x）22、图象的平移的方向和大小根据的正（负）将其图象向左（右）平移|个单位；再根据的正（负）将其图象向上（下）平移|个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图1所示三、图象的性质1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x =为对称轴，以（，）为顶点的抛物线x= y x O x= x y O 图2图32、二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图2，当a 0时，其图象的开口向上，这时当x 时y的值随x的增大而增大；当x =时，y有最小值如图3，当a 0时，其图象的开口向下，这时当x 时y的值随x的增大而减小；当x =时，y有最大值3、二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a定形；顶点（，）定位【链接中考】例1二次函数y=x22x3的对称轴和顶点坐标分别是（ ）Ax = 1，（1，4）B x = 1，（1，4）C x = 1，（1，4）D x = 1，（1，4）解析：将y=x22x3配方，y= x22x3= x22x113=（x1）24对称轴是x = 1，顶点坐标是（1，4） 故应选A注：还可以直接利用顶点坐标公式求得（读者自己完成）3.05米Oxy图4例2在距离地面2米高的某处把一物体以初速度（米/秒）竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s（米）与抛出时间（秒）满足：s=tgt2 (其中是常数,通常取10米/秒2),若=10米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面米解析：由题意，得s=10t5t2则s=10t5t2 =5（t22t）=5（t22t11）=5（t1）25所以，该函数的最大值为5故该物体在运动过程中最高点距离地面52 = 7（米）例3如图4，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=x23.5运行，然后准确落入篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线y=x23.5知，其顶点为（0，3.5）所以，球在空中运行的最大高度为3.5米（2）在y=x23.5中，当y =3.05时，3.05=x23.5，x =1.5又x 0，x =1.5当y =2.25时，2.25=x23.5，x =2.5又x 0，x =2.5故运动员距离篮框中心的水平距离是|1.5|2.5| = 4（米）求二次函数解析式的三种方法 一、已知任意三点求解析式用一般式，即。 方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于、的三元一次方程组，求出、的值，即可得到二次函数的解析式。 例1、如图，抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与轴的另一个交点为E，求抛物线的解析式 分析：观察图像，点A、B、C、E的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为，由图像可知，抛物线经过点A（1，0）、B（0，3）、C（2，3）三点，所以，解得，所以抛物线的解析式为 二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即 方法是：先将顶点坐标（，）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式 例2、已知二次函数的顶点为（2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式 分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。 解：设二次函数为，把点（2，7）代入解析式，得，解得，所以二次函数的解析式为，即 三、已知与轴两交点坐标求解析式用交点式，即 方法是：将抛物线与轴两个交点的横坐标、代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式 例3、已知变量是的二次函数，且函数图像如图，在轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3，2），求这个函数的解析式 分析：因为函数图像在轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P（3，2），根据图像可知，图像与轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，2），在轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为。因为函数图像经过P（3，2），所以，解得，所以二次函数的解析式为，即8