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高一数学知识点及重要点 幂函数定义: 形如y=xa(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不怜悯况如下:假如a为任意实数,则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数,则x确定不能为0,不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定,即假如同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不怜悯况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域 幂函数性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种状况来争论各自的特性: 首先我们知道假如a=p/q,q和p都是整数,则x(p/q)=q次根号(x的p次方),假如q是奇数,函数的定义域是R,假如q是偶数,函数的定义域是0,+)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(xk),明显x0,函数的定义域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排解了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排解了为0这种可能,即对于x 排解了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的全部实数,a就不能是负数。 (总结)起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不怜悯况如下: 假如a为任意实数,则函数的定义域为大于0的全部实数; 假如a为负数,则x确定不能为0,不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定,即假如同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的全部实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况. 可以看到: (1)全部的图形都通过(1,1)这点。 (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。 (6)明显幂函数无界。 高一数学学问点及重要点2 (1)指数函数的定义域为全部实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的状况,则必定使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个明显的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(固然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)明显指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地,对于函数f(x) (1)假如对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)假如对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)假如对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)假如对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 高一数学学问点及重要点3 定义域 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,假如按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A-B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域; 值域 名称定义 函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量全部值的集合 常用的求值域的(方法) (1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)根本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个根本“元件”。平常数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就减弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的把握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于相互转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。假如函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是简单的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必需联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值状况。才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,假如加强了对值域求法的讨论和争论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的熟悉。 “范围”与“值域”一样吗? “范围”与“值域”是我们在学习中常常遇到的两个概念,很多同学经常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。“值域”是全部函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满意某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不肯定都满意这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不肯定是“值域”。
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