抽象函数问题的背景透视抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数.抽象函数常常集函数性质、图象、定义域与值域等问题于一身，既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力，并且概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，它在高中数学教材中虽没有涉及到，但在各类高考模拟试题中常常见到，也是近年来高考试题中的新宠。本文就抽象函数问题的背景作一探讨。一以函数的定义为背景。以函数的定义为背景的抽象函数常常涉及到函数的定义域、值域及反函数的图象。例1、若函数y=f(x)的定义域为0,1,求函数F(x)=f(xk)-f(x-k)的定义域。0，xk，1一k，x，1一k分析：由得0，x-k，1k，x，1k(1) 当-k1k或k1-k即k时，函数定义域为22(2) 当k，k，1-k即0，k，1时，定义域为k，-k2(3) 当k，-k，1k即1，k，0时，定义域为k，k2例2若函数y=R1的反函数为y=-1(x1，则f(x)=()。Af(x1)Bf(x1Cf(x11Df(x1)+1分析此题易错选A，因为不少学生误认为y=f(x12,yx5求x的取值范围。9解：Tf(3)=1f(3)+f(3)=2:.f(-)+f(3)=f=23xx:f(x)=f(-)+f(y)即f(x)-f(y)=f(-)yyf(x)f()，fx(x5).fx(x-5)f(9)x5:f(x)是定义在R+上的增函数x0x50解得：x5+612x(x5)9例6.已知函数几工)在(一1,1)上有定义,f(1)=1,当且仅当0xv1时f(x)0,且对任意2x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(-)，试证明：1+xy(1f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1,1)上单调递减命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.技巧与方法：对于(1),获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2),判定x2x11xx12的范围是焦点.证明：(1)由f(x)城y)=(x2)，令x=y=o,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=(匸乂)=(0)=01xy1-x2f(x)=-f(-x)./.f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f(x2x1)1-xx12/0x0,1-xx0,；0,1221121-xx21又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x21)(x1+1)0x2-x1v1-x2x1，.0vx2-x11,由题意知f(x2-x1)0,1-xx1-xx2112即f(x2)vf(x1).f(x)在(0,1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(一1,1)上为减函数.例7.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(一8,0)内单调递增,(2a2+a+1)V(3a2-2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=)a2-3a+1的单调递减区间.2命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0vx1vx2,则一x2-x1v0,Vf(x)在区间(一8,0)内单调递增，f(-x2)3a22a+1.解之，得0vav3.35又a23a+1=(a)2.24.函数y=(丄)a2-3a1的单调减区间是3,+8】22结合0vav3，得函数y=(3)a2-3a+1的单调递减区间为】3,3.22三.以函数的图象为背景。例8.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x+1)=f(2X)成立，若f(x)=0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.303C.152D.30522提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x=32于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是3，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x=3对称22利用中点坐标公式，这100个根的和等于-xl00=1502所有101个根的和为3x101=303.选B22例9.函数y=f(x)(x工0)是奇函数，且当xUR+时是增函数，若f(1)=0，求不等式11+17X22若X（X-丄）0时，fX（X-丄）f（-1）22X（X-丄）1解得：xUQ2所以：117十11+17X0或X222试试看，练练笔1、定义在实数集上的奇函数f(X)恒满足f(1+x)f(1-X)，且X(-1,0)时，f(X)2X+1,则f(log20)。522、已知函数yf(x)满足f(x)+f(2-X)0，则yf(x)图象关于对称。3、函数yf(x-1)与函数yf(1-X)的图象关于关于对称。4、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x-1)f(1-X)，则yf(x)的图象关于对称。5、设函数yf(x)的定义域为R,且满足f(X+1)f(1-X)，则yf(X+1)的图象关于对称。yf(X)图象关于对称。6、设yf(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(1-2x)f(2x)，则yf(2x)图象关于对称，yf(X)关于对称。7、已知函数yf(x)对一切实数X满足f(2-x)f(4+x),且方程f(x)0有5个实根，则这5个实根之和为()A、5B、10C、15D、188、设函数y=f(x)的定乂域为R,则下列命题中，若y=f(x)是偶函数，则yf(x+2)图象关于y轴对称；若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；若f(x-2)f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为。9、函数y=f(x)定义域为R,且恒满足f(x+2)=f(2，x)和f(6+x)=f(6，x)，当2x6时，f(x)=2一一x，求f(x)解析式。210、已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在(0,4上只有三个实根，且一个根是4,求方程在区间(-&ioj中的根。附参考答案：1T：(1,0)T：x=1T：y轴即x=0T:y轴x=112345:x=丄x=1T：CT：642781_(x，8k)(8k2x8k+2,kZ)2T:f(x)=91一一(x一8k)+2(8k+2x8k+6,kZ)I2T:方程的根为-6、一4、一2、0、2、4、6、8、10共9个根。10