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广州市20xx届高三年级调研测试 数 学(理 科) 本试卷共4页,21小题,满分150分考试用时120分钟注意事项:1答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答漏涂、错涂、多涂的,答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后,将试卷和答题卡一并交回参考公式:锥体体积公式,其中为锥体的底面积,为锥体的高一选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知为虚数单位, 则复数的模等于A B C D2设集合,则等于A B C D3已知向量,若,则实数的值为A B C D4定义在上的函数满足则的值为A B2 C D4Oxy1图15函数(,)的部分图象如图1所示,则函数对应的解析式为A BC D6执行如图2的程序框图,如果输入的的值是6,那么输出的的值是A15 B105 C120 D720 是否开始输出图2输入结束7若点和点到直线的距离依次为1和2,则这样的直线有A1条 B2条 C3条 D4条8对于实数a和b,定义运算“*”:*设*,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是A B C D二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分(一)必做题(913题)9在等比数列中,若,则 Oxy24-2图310若,满足约束条件则的最大值为_11如图3,设是图中边长为4的正方形区域,是内函数图象下方的点构成的区域在内随机取一点,则该点落在中的概率为 12已知点在曲线(其中为自然对数的底数)上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是 13有4名优秀学生,全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种图4(二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14(几何证明选讲选做题)如图4,为的直径,弦交于点若,则的长为 15(坐标系与参数方程选讲选做题)若点在曲线(为参数,)上,则的取值范围是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)在中,角,所对的边分别为,且 (1)求的值;(2)若,求的值17(本小题满分12分)空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,代表空气污染越严重的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:日均浓度035357575115115150150250250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图5(1)试估计甲城市在9月份30天的空气质量类别为优或良的天数;(2)在甲城市这15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望18(本小题满分14分)图6ABCDEF在如图6的几何体中,平面为正方形,平面为等腰梯形,(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值19(本小题满分14分)已知数列an满足,(1)求证:数列为等比数列;(2)是否存在互不相等的正整数,使,成等差数列,且, 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的,;如果不存在,请说明理由20(本小题满分14分)设函数,.(1)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数,的值;(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围;(3)当,时,求函数在区间上的最小值 21(本小题满分14分)如图7,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下OxyBAFPl1ll2依次为,(1)若与的夹角为60,且双曲线的焦距为4,求椭圆的方程;图7(2)求的最大值数学(理科)参考答案及评分标准说明:1参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数,选择题和填空题不给中间分一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题,每小题5分,满分40分 题号12345678答案DCADABCA 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分其中1415题是选做题,考生只能选做一题题号9101112131415答案34361三、解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)解:(1)在中,1分所以 2分3分所以 5分7分(2)因为,由余弦定理,9分得11分 解得12分17(本小题满分12分)解:(1)由茎叶图可知,甲城市在9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天1分所以可估计甲城市在9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天2分(2)的取值为0,1,2,3分因为,5分,7分9分所以的分布列为:110分所以数学期望12分18(本小题满分14分)(1)证明1:因为,在中,由余弦定理可得2分所以所以3分因为,、平面,所以平面4分证明2:因为,设,则在中,由正弦定理,得1分因为,所以整理得,所以2分所以3分因为,、平面,所以平面4分(2)解法1:由(1)知,平面,平面,所以因为平面为正方形,所以因为,所以平面6分取的中点,连结,因为是等腰梯形,且,所以所以是等边三角形,且7分MNABCDEF取的中点,连结,则8分因为平面,所以因为,所以平面 9分所以为直线与平面所成角 10分因为平面,所以11分因为,12分在中,13分所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法2:由(1)知,平面,平面,所以因为平面为正方形,所以因为,所以平面6分xABCDEFyz所以,两两互相垂直,建立如图的空间直角坐标系7分因为是等腰梯形,且,所以不妨设,则,所以,9分设平面的法向量为,则有即取,得是平面的一个法向量11分设直线与平面所成的角为,则13分 所以直线与平面所成角的正弦值为14分19(本小题满分14分)解:(1)因为,所以1分所以
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