高等代数第一单元测试题一、单项选择题 1.设, 且在F上不可约，如果，则 ( ) A、且 B、但p (x) g (x) C、p (x) f (x) 且p (x) g (x) D、或2.下列关于多项式整除的说法正确的是( ) A、任何多项式都不整除零多项式 B、零多项式与任何多项式都互素C、零次多项式与任何多项式都互素 D、零次多项式与零次多项式不互素3.下列关于多项式的说法中不正确的是 （ ） A、若，则()1B、若都与互素，则()1C、任一多项式都与零多项式互素D、任意两个零次多项式都互素4.设，如果，则 （ ） A、 B、C、 D、5.设，是有理数域Q上的两个互素多项式，下列说法正确的是( ) A、与在实数域上也互素 B、与在实数域上不互素C、与在复数域上不互素 D、与在任一数域F(Q)上都不互素6. 若，且，其中，则下列结论成立的是（ ）A、 B、 C、 D、 不能确定7. 已知，的最大公因式是二次多项式，则的值分别为（ ） A、 B、 C、 D、 8. 若，下列结论成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 以上结论都正确9. 下列关于多项式根的说法正确的是（ ）A、 任何多项式在复数域中至少有一个根B、 任何数域上的一个次多项式在中至少有一个根C、 任何方程在复数域中至少有一个根D、 任何次多项式在复数域中至少有一个根10. 设是数环，则下列说法错误的是（ ）。A、 必包含数0 B、 必包含数1 C、 必关于加法、乘法封闭 D、 一定是复数集的子集11.下列关于多项式的4个充要条件中， （ ）是正确的A、 整系数多项式在有理数域上不可约的充要条件是满足艾森施坦因条件 B、 不可约多项式是的重因式的充要条件是是的重因式 C、 的充要条件是：等式成立D、 与互素的充要条件是：等式成立12.下列关于多项式的结论正确的是（ ）A、 多项式的根与所论数域无关B、 多项式的整除性与所论数域无关C、 多项式的公因式与所论数域无关 D、多项式的可约性与所论数域无关13. 满足的三次多项式为（ ）A、 B、 C、 D、 14.若,都是多项式环中的非零多项式, 且, 则与之间的次数关系是( )A、 B、 D、 以上结论都不对.15. 若|, 且， 则为( )A、 B、 C、 D、 .16.若为零次多项式，则下列说法正确的是 （）A、的系数全为零 B、等于零C、的次数不等于零D、能整除任一多项式17.设为数域上的不可约多项式，则 （）A、在数域上可以分解为两个次数比低的多项式的乘积B、在数域上不能分解为两个次数比低的多项式的乘积C、不能被数域上的任何因式整除D、一定为数域上的一次因式18.设f(x),g(x),h(x)Fx，则下列结论正确的是 。A、 若f(x)|g(x)+h(x), 则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) B、 若f(x)|g(x), f(x)|h(x), 则f(x)|g(x)+h(x);C、 若f(x)不整除g(x)，f(x)不整除h(x), 则f(x)不整除g(x)+h(x) D、 若f(x)不整除g(x)+h(x), 则f(x)|h(x), f(x)不整除g(x) 19.设是个互不相同的素数，那么多项式在有理数域上（）A、不可约 B、 可约 C、不一定可约 D、A、B、C、都不成立20.下列关于多项式的说法中正确的是( )A、零多项式整除任意多项式 B、零多项式不整除零多项式 C、零多项式整除零多项式 D、零多项式的次数为零二、填空题 1.以2i为根的次数最低的实系数多项式为_2.多项式无重因式的充要条件是 3.多项式的有理根是_4. ，当且仅当 5. 6. 多项式除以所得余式为 .7.奇次实系数多项式至少有 个实根.8.实数域上的不可约多项式只有 和 .9.复数域上的不可约多项式只有 .10. 次复系数多项式在复数域上根的个数的取值范围为 .三、判断正误，正确的给出简单证明，错的举出反例1.多项式的次数等于的次数与的次数的和.2.所有多项式的次数都是一定的.3.两个数环的并也是数环 .4. 设为F上的多项式，且不可约.若为的重因式,则必为的重因式.5.不存在含有有限个数的数域. 6.若在F上不可约，且则且7.有理数域上任意次不可约多项式都存在. （）8.整体互素一定两两互素.9.若等式成立，则10.是一数域.11设是整系数多项式，是的整数根，则.12.若,则.四、计算题 1. 求多项式的有理根。2. 令是有理数域。求的多项式 ，的最大公因式。3. 已知多项式除以的余数为1, 除以的余数为-1,求多项式除以的余式.4.求以2与-6为单根,4为二重根的 4次多项式.五、证明题 1.设都是实数域上多项式. 证明，如果，那么.2.证明 若()1，则()1.3. 设, 若对 都有, 则.4. 设, 若对 都有, 则或.5. 证明：数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.6. 设是一个整系数多项式，证明：若是和都是奇数，那么 不能有整数根。7. 若，这里为使实系数多项式，求证：.8. 数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充分必要条件是，这里是中的数。9. 设.证明：.10. 设是互不相同的整数,求证：不能分成两个次数都大于零的整系数多项式的乘积.11. 令是整系数多项式.如果是n个两两不同的整数,且使证明: 是有理数域上的不可约多项式.12. 第48页第6题.4