中考专题复习之正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。精典例题：【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EFAC，在DA的延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF相交于点H。求证：AHAD。分析：因为A是DG的中点，故在DGH中，若AHAD，当且仅当DGH为直角三角形，所以只须证明DGH为直角三角形（证明略）。评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。 【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若PAQ450，求证：PBDQPQ。分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。变式：若条件改为PQPBDQ，那么PAQ？你还能得到哪些结论？探索与创新：【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AGEB于G，AG交BD于点F，则OEOF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。 分析：对于图1通过全等三角形证明OEOF，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。结论：（2）的结论“OEOF”仍然成立。提示：只须证明AOFBOE即可。评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为。（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑行时，PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。 分析：（1）实验猜测：PQPB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。略解：（1）如图1，易证BPPD，12，PQD1800PQCPBCPDQ PBPDPQ （2）如图2，易证BOPPEQ QEPOAOAP （0） （3）PCQ可能成为等腰三角形。 当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时0；当点Q在边DC的延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）。此时，QNPM，CNCP，所以CQQNCN，当时，解得。 评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。跟踪训练：一、填空题：1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CEAC，AE与CD边相交于F点，那么CEFC 。 3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC，则正方形移动的距离是 。4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA。其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。二、选择题：1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成段，以每一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为，正方形ABCD的周长为，则与的关系式是 。 A、 B、 C、 D、与无关2、如图，在正方形ABCD中，DEEC，CDE600，则下列关系式：1441；1311；（12）（34）53中，正确的是（ ） A、 B、仅 C、仅和 D、仅和 3、如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtCEF的面积为200，则BE的值为（ ） A、10 B、11 C、12 D、154、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为的正方形的是（ ）数量（张） 卡片方案（1）（2）（3）A112B111C121D211三、解答题：1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEBC于E，PFDC于F。求证：（1）APEF；（2）APEF。 4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BECA，作AEAC，又CFAE，求证：BCFAEB。跟踪训练参考答案一、填空题： 1、；2、；3、；4、二、选择题：CDCA三、解答题：1、易证ABFCFB和BAECDE，由ABFCFBAFBBFCFADDCE；由BAECDEDCEABF。所以DAFEAB，故EHAEAB900，AFBE。2、（1）如图1，取AD中点F，连结MF，由MNDM得DAM900，易证12，又因MNBNBE24502，DMFAFM14501，所以DMFMNB，又因DFBM，所以DMFMNB，故MDMN。 （2）成立，如图2，在AD上取DFMB，则易知：1900DMA，又2DMA900，12，又DMF4501，MNB4502，DMFMNB，又DFMB，DMFMNB，故MDMN。3、略证：延长AP与EF相交于点H，连结PC，因为BD是对角线，易证PAPC，12，根据PEBC于E，PFDC于F，知PECF为矩形，PCEF，且DAHFPH，又因为123，所以在PHF中，FPH341900，所以PHF为直角三角形，故APEF。4、提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形。1