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2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题答案及评分标准(7月5日上午8:3011:00)考生注意:本试卷共三道大题,16道小题满分150分。一 选择题(本题满分30分,每小题5分)本题共有6道小题,每小题给出了(A)(B)(C)(D)四个结论,其中只有一个是正确的。请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得5分,不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。1已知集合M=x|xR,5|2x3|N+,则M的所有非空真子集的个数是()A254B255C 510D 511答(C)2平面上满足约束条件的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为ABCD 答(B)3已知ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C.则sinB+cosB的取值范围是A(1,1+B,1+C(1,D, 答(C)4设M是正方体各条棱的中点的集合,则过且公过M中3个点的平面的个数是A56B。81C。136D。145答()5设an=2n,bn=n,(n=1,2,3,。),An、Bn分别为数列an、bn的前n项和。记cn=anBn+bnAnanbn,则数列cn的前10项和为A210+53B.2 11 +53C.110(2 91)D.110(2 101)答(D)6将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内,使每个小圆都与大圆相内切,且这些小圆无重叠部分,则最多可以放入的小圆的个数是A30B.31C.32D.33答(B)二填空题(本题满分30分,每小题5分)7正四面体ABCD的外接球球心为O,E为BC中点,则二面角ABOE的大小为_120o_.8函数f(x)=的最大值与最小值的乘积是_.9.把长为1的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为_.10设a(0a1)是给定的常数,f(x)是R上的奇函数,且在(0,+)上递减。若f()=0,f(logax)0,那么x的变化范围是_或_.11数列an满足an =1,则a1+a 2+a 3+。+a n =_12已知点P是双曲线=1上的动点,F、F分别是其左、右焦点,O为坐标原点,则的取值范围_.三解答题(本题共4道小题,满分90分)13(本小题满分20分)已知函数f(x)=2x+alnx(1)若a0,证明:对于任意两个正数x1,x2,总有f()成立;(2)若对任意x1,e,不等式f(x)(a+3)xx2恒成立,求a的取值范围。14(本小题满分20分)已知椭圆+=1(ab0)的离心率e=,过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(2,0),直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点,证明:对任意的t0,都存在k ,使得以线段CD为直径的圆过E点.EABDD15.(本小题满分25分)如图。ABC中,ABAC,AE是其外接圆的切线,D为AB上的点,且AD=AC=AE.求证:直线DE过ABC的内心.16.(本小题满分25分)已知数列an中的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方程x2(3k+2k)x+3k2 k =0的两个根.(1)求数列an的前2n项和S2n.(2)记f(n)=(+3),Tn=+,求证:Tn(nN+)说明: 1评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设5分和0分两档,其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分,可以5分为一个档次,不要再增加其它中间档次。一选择题(本题满分30分,每小题5分)1(C) 2(B) 3(C) 4(A) 5(D) 6(B)二填空题(本题满分30分,每小题5分) 7 8 9 10或 11 12三解答题13(本小题满分20分)解:(I).(5分)因为 所以, , 又, 故,所以,; (10分)()因为对恒成立,故, ,因为,所以,因而 ,(15分)设 因为,当时, ,,所以,又因为在和处连续 ,所以在时为增函数,所以 (20分)14,(本小题满分20分)解:(I)直线的方程为, 依题意得 解得, 所以,椭圆方程为(5分)()将代入椭圆方程,得, 由直线与椭圆有两个交点,(1) (10分)设,则,(2)以为直径的圆过点,即, 而,将(2)代入,解得,(15分),即满足(1),所以,对任意的,都存在,使得以线段为直径的圆过点(20分)15. (本小题满分25分)证明:设角的内角平分线与交于点,连接,由于是外接圆的切线,故,(5分)又,故, (10分)故,所以四点共圆. (15分) (20分),故为角的角平分线,为的内心. (25分)16. (本小题满分25分)(I)解:方程的两个根为, (5分) (10分)() 证明:,所以, (15分)当时, (20分)同时,综上,当时, (25分)
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