湖南省湘豫2020届高三数学上学期12月联考试题 理注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集，集合，则A.B.C.D.2. 复数的共轭复数为A.B.C.D.3. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是A.B.C.D.4. 若，则有A.B.C.D.5. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为A.B.C.D.6. 数列满足，则数列的前项和为A.B.C.D.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则框图中处可填入A.B.C.D.8. 将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是A.B.C.D.9. 梅赛德斯奔驰（MercedesBenz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆地、水上和空中的机械化。已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆形，若在圆内任取一点，则此点取值阴影部分的概率为A.B.C.D.10. 我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）。设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最大正整数的值是A.B.C.D.11. 在中，分别是上的点，且满足，为上的任意一点，实数满足，设、的面积分别为、，记，则取到最大值时，的值分别为A.B.C.D.12. 设是定义在上的函数的导数，函数满足，若，且方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是A.B.C.D.二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知是奇函数，则_.14. 已知函数，若则实数_.15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_.16. 正方体的棱长为，在正方体的表面上与点的距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是_.（参考数据）三、 解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围。18. （本小题满分12分）在中，斜边，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角为，点满足（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（1）求椭圆的离心率；（2）若，设直线，延长交直线于点，线段的中点为，求证：点关于直线的对称点在直线上。20. （本小题满分12分）2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知知网”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的2019年部门预算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学位论文送3为同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2为复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”。设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且个篇论文是否被评议为“不合格”相互独立。（1）相关部门随机抽查了300位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数据如下表所示：通过计算说明是否有的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？（2）若，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求的值；（3）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元，现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由。21. （本小题满分12分）已知函数有两个极值点（为自然对数的底数）。（1）求实数的取值范围；（2）求证：请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线和直线分别交于两点，求线段的长。23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为，其中（1）求的值；（2）若正数满足，求证：1