（人教版）精品数学教学资料3.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一半角公式思考1我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？答案结果是cos 2cos2112sin2cos2sin2.思考2根据上述结果，试用sin ，cos 表示sin ，cos ，tan .答案cos2，cos ，同理sin ，tan .思考3利用tan 和倍角公式又能得到tan 与sin ，cos 怎样的关系？答案 tan，tan .梳理sin ，cos ，tan .知识点二辅助角公式思考1asin xbcos x化简的步骤有哪些？答案(1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角满足：cos ，sin (或sin ，cos ).一般为特殊角，则得到(cos sin xsin cos x)(或(sin sin xcos cos x).(3)化简、逆用公式得asin xbcos xsin(x)(或asin xbcos xcos(x).思考2在上述化简过程中，如何确定所在的象限？答案所在的象限由a和b的符号确定.梳理辅助角公式：asin xbcos xsin(x).(其中tan )类型一应用半角公式求值例1已知sin ，3，求cos和tan .解sin ，且3，cos .由cos 2cos21，得cos2.，cos .tan 2.反思与感悟(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：先化简所求的式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1已知sin ，且，求sin ，cos 和tan .解sin ，cos .又，sin ，cos ，tan 4.类型二三角恒等式的证明例2求证：.证明要证原式，可以证明.左边tan 2，右边tan 2，左边右边，原式得证.反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.跟踪训练2证明：tan .证明左边tan 右边，原等式成立.类型三利用辅助角公式研究函数性质例3已知函数f(x)sin2sin2 (xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解(1)f(x)sin(2x)2sin2sin21cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk (kZ)，所求x的集合为x|xk，kZ.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.解(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期为T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为.类型四三角函数在实际问题中的应用例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.解如图连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M，则AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t)，则sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 100(t)2950.故当t时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t时，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000) m2.反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解连接OC，设COB，则00，cos .2.已知tan3，则cos 等于()A. B. C. D.答案B解析cos .3.函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最大值是()A.1 B.2C. D.3答案C解析f(x)sin 2xsin，x，2x，sin，f(x)max1，故选C.4.函数f(x)sin xcos x，x的最小值为 .答案1解析f(x)sin，x.x，f(x)minsin1.5.化简：.(180360)解原式.因为180360，所以90180，所以cos 0，所以原式cos .1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中满足： 与点(a，b)同象限；tan (或sin ，cos ).3.研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等.课时作业一、选择题1.若cos ，是第三象限角，则等于()A. B. C.2 D.2答案A解析是第三象限角，cos ，sin ，.2.若tan 2tan ，则等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析3.3.已知1800，aR)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则的值为()A. B. C. D.答案A解析f(x)cos 2xsin 2xasina，依题意得 2.6.设acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c ，则有()A.cba B.abcC.acb D.bca答案C解析asin 30cos 6cos 30sin 6sin(306)sin 24，b2sin 13cos 13sin 26，csin 25，ysin x在0，上是单调递增的，acb.7.已知sin ，cos ()，则tan等于()A. B.5C.5或 D.或5答案B解析由sin2cos21，得()2()21，解得m0或8，当m0时，sin 0，不符合.m0舍去，故m8，sin ，cos ，tan 5.二、填空题8.设56，cosa，则sin 的值为 .答案 解析sin2，(5，6)，sin .9.sin220sin 80sin 40的值为 .答案解析原式sin220sin(6020)sin(6020)sin220(sin 60cos 20cos 60sin 20)(sin 60cos 20cos 60sin 20)sin220sin260cos220cos260sin220sin220cos220sin220sin220cos220.10.函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 .答案解析f(x)sin 2xcos 2x(1